CHAPITRE XI. — LA DIVISION ALGÉBRIQUR. l

CAL, pour les indices négatifs: on en déduit que la formule du binôme de ^EWTO^ s^ applique aux exposants entiers et négatif s, en tenant compte d'un terme complémentaire y et l'on a

(1 — x)t* I Jl I .'2.3

Pour — I < ar < I, le développement est convergent.

Exemple II. — Démontrer, pour n entier positif, la formule due à

ElîLER,

104. Méthode des coefûcients indéterminés. — Si Ton veut développer la fonction

f{x) — {i-hax)ii -h a^x). , .(i-h a"x), suivant les puissances de x, on pose

f{x) rr: l -h Aj J* -- X^X'-h. . . > X„X'*j

et il s'agit de déterminer les coefficients A|, A2, ..., A„, en observant que le développement est unique. On a l'identilé

(1-- ax)f{ax) = (i-f- a'^-^^x)f(x);

remplaçons /{ax) et /(x) par leurs développements ; égalons successivement les coefficients de x, x-, x', . . ., x", il vient, pour les coefficients de xp^

d'où l'on tire

an^\ — aP

et, par suite,

(^..,)(a«-.^.)...(a,-p..-.) ^^,^^,, '^ ^a — \)f^a^—\).,,{aP—i)

Pour a = i, on retrouve la formule du développement de la puissance {\ -\- x)p dm binôme. Ce calcul est d'EuLER.

l84 LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

On peut développer de nièine le produit

o{jr) — (i - *i,r){i -T- a^JT). . .(i -^a^^-^r),

en partant de l'identilé

Exemple /. - - Si l'on pose

(I X){1 — x^}. . .{l ' xP)

l'expression Fg est un |M»lYn(Mne eniier en x^ ainsi que cela résulte «le l:i formule (•à)j et l'on a l'identité

analogue ù la loi de formation du trian<;le arithmétique ( n*^ i>. Exemple II. — Si Ton pose, avec les notations précédenles,

(»n a la relation

/{x, // -h -ji ) — ( I — Jr'*^^)f{x, n):

par suite,

/(T.—ip)/(^y 2/>j = l.

Les exercices précédents sont dus à Gauss. Exemple III. — On a l'idenliié

JTÎ

Exemple IV. — On a l'identité

x'i — xPn

X — xP^

\^\ — x)i^\ — x'i) {\ -- x'l)\\ — XP'l) (I — x){^\—xP*l)^

si l'on remplace q pary?", et si l'on fait successivement n égal à i, 2, 3 ..., /i, la somme des égalités ainsi obtenues donne l'identité

X — xP

xP — ,r/'*

(I — :r)(i — j-/'; K\ —xP){\ — XP*)

XP"* — XP

(I— .r/'")(i —xP"^')

X — XP

MH-l