CO

^•(i^* — .r-jl •>.-— x^). . AH'- x^)

X{i' — X')( 'j.i— X*). . .(/i*-- ./•*) sont respectivement égales aux trois expressions

p — n y .. ( 2 /l ) ! ^ ^ (2/))! ('Jl'l — 2/>)î j

(/lî)^ j^ ^ [( n — y>;î ( /t — /;;! J* [y*-/^ ^' -" P \

p = i Exemple IV\ — Si Ton pose

r»n a les identités

GiGjn-n-T-GjGj,,— . .. -f- - (0,1^1 )2 — - - Gj/n-j.

Exemple V. — Si l'on pose

(2/1 -+-i)!H,,r.-^ ^ (.r*-^ I«)(\r2-i- 'jî).. (j^--^- 2/t— 1'),

avec

Ao -- I cl Bo " -r, on a les identités

» ' lî '-^ T) 2/1 -+- 1 .

rJ/i-T — n;,i-4- — ; l3„j-t- ... — Art-»-i.

Les trois exercices précédents sont dus à M. J.-W'.-L. Glaisuer.

l88 LIVRE II. — LES NOIIBIIES KATIOXXELS.

106. Identités d'Euler. — Si Ton rgale les < oefiicienls de x" dans Jes deux membres de l'identité (i) du numéro précédent, en observant que celui de \a est i, on obtient en supposant que le degré de F(j:*) est au plus égal à //, el en désignant par M le coefficient de x" dans F(j^),

Remplaçons les quantités To, J'm • • •• -^/z» pa»' ^7» ^>» ^'^ •• •? A et F(.r) par xP^ il en résulte que Texpression

(rt — ù){a — c), . .(a - / ) {ù — a ){0 — Ci. , .(0 />

s^annule pour toutes les valeurs o, !,'>.....,(// — i) de p et devieiil égale à i pour y> = /?.

Exemple F. — Si a, ùy r^ ..., / dôsi^nont les abscisses «li* In -f- i > points A, B, C, ..., L, en ligne droile sur l'ave OX, on a

OA ^a. OB - h. AB ^ h </:

par suite, l'expression