INTRODUCTION. XXI

que rcpréscnlcrail une boule sur la lige placée immédiatement au-dessous. En d'autres termes, de la première à la sixième tige, les boules valent

un, deux, quatre, huit, seize, trente-deux,

et le nombre marqué sur le boulier est la somme des nombres représentés par chacune des boules. Mais, pour parvenir à compter des nombres de plus en plus grands, et, par exemple, pour dénombrer les étoiles du ciel, les habitants d'une ville ou d'une contrée, il fallut d'abord augmenter le noitibre des tiges et employer simultanément plusieurs bouliers. En plaçant quatre boules sur chaque tige, on convenait que les boules situées sur les tiges successives avaient une valeur de cinq en cinq fois plus grande; avec neuf boules, il était convenu que chaque tige servait à représenter des nombres de dix en dix fpis plus grands. Telle est l'origine du boulier chinois nommé souan-pan , du boulier russe nommé schtote et des diverses transformations de ces appareils dont on se servait couramment en Europe, au \\\^ siècle, dans les calculs de la Banque des argentiers. Les Chinois, les Russes et les peuples de l'Orient se- servent encore couramment des bouliers. Le jeu danneaux, que Ton appelle baguenaudler, d'origine chinoise, doit être considéré comme une transformation du Je-kim et construit plus spécialement pour la classe des lettrés et des mandarins.

L'emploi des bouliers conduit directement à la numération parlée et à la numération écrite; la numération décimale étail connue en Chine et aux Indes, dès les temps les plus reculés ; elle nous a été transmise par les Arabes, avec leurs chiffres et le zéro. On ne doit pas confondre les abaques avec les tables de multiplication ; dans Torigine, c'étaient des tables en bois, en métal ou en marbre, divisées en compartiments par des lignes transversales; ces compartiments correspondaient aux tiges des bouliers ; on y plaçait des pions ou des cailloux, ou l'on y traçait encore des signes sur le sable, le pulvis eruditus, dont ils étaient recouverts, comme dans la Table de Salaniine, ou Tabaque de BoiÉcB. « Le

XXII INTRODrCTIO.N.

Système de niimëralioD décrit par Boëce est identique, quant aux principes, à notre Arithinélique actuelle et n'en diffère, en pratique, qu'en ce seul point, qu*on faisait usage d'un Tableau à colonnes, pour indiquer les différents ordres d'unités décuples, ce qui pernrMîttait de marquer par une place vide l'absence d'un nombre, que nous marquons aujourd'hui par un signe figuré, c'est-à-dire, en d'autres termes que, dans ce système, le zéro était une place vide » (*). — Mais pendant leurs vingt siècles d'existence les Romains n'ont pas connu l'emploi du zéro. Ils n'avaient pour numération que le système défectueux qu'ils nous ont transmis; par suite, ils ignorèrent l'Arithmétique et la Géométrie. Ils ont dédaigné les connaissances si subtiles, si idéales des Grecs qu'ils avaient conquis; ils ont brûlé les écrits d'ARCuiMÈOE. Leurs mathématiciens étaient des esclaves, les Calculatores, et leur bagage scientifique se réduit aux médiocres travaux des Agrimensores et des Gromatici de la décadence.

Les questions des partages et des hérllages, que l'on rencontre continuellement dans les ouvrages des auteurs arabes, avaient donné naissance, d'uœparl, à la division et aux nombres fractionnaires; d'aulre part, à la Géométrie, par l'évaluation des surfaces et des volumes. Dès les temps les plus reculés, les Hindous figuraient les nombres par des briquettes de bois ou d'argile, en forme de parallélépipèdes rectangles de même hauteur, et dont la longueur et la largeur étaient des multiples de la hauteur. C'est en tenant compte des indications puisées dans les ouvrages d'AnvA- BHATTA que nous avons pu reconstituer la Table de multiplication des Indiens, dont on trouvera un exemplaire dans la collection des machines à calcul que nous avons réunies au Conservatoire des Arts et Métiers. Au moyen de cette Table, on peut démontrer la plupart des théorèmes concernant la mesure des surfaces et des volumes, ainsi que les formules sur la somme des premiers nom-

(') CiiASLEs, Explication des Traites de /'Abacus et, particulièrement, du Traité de Gerbeht {Comptes rendus de l* Académie des Sciences; Paris, iS^S).