CHAPITRE XI. — LA DIVISION ALGÉBRIQUE

on a identiquement

o(J") \T — jro x—x^J \x — xx x — x^l

-7- . . . -T- Brt| ( ) y

\x — Xa-\ Jr — Xnl

car By, est nul, d'après l'une des identités d'EuLER. Par conséquent, si les nombres oTq, X\^ X2, .. ., Xn^ sont tous entiers, on pourra trouver la somme des valeurs de la fraction rationnelle donnée, pour des valeurs de x égales à une suite de nombres entiers consécutifs. Plus particulièrement, si x^y X\y ...,:?« sont en progression arithmétique, on ramène le problème à la sommation des inverses des factorieiles successives (n** 86).

Exemple I. - Trouver la somme S,i des n premiers termes de la suite

it„ =

On a ridentité

et Ton trouve

108. Formule d'interpolation de Newton. — Cette formule r<''sout le problème de trouver le polvnôme, de degré n au plus, qui pour des valeurs données de x, en nombre (n -\- i),

supposées en progression, arithmétique, prenne des valeurs données

Mo, l/i, Mj, . . ., M/|.

En désignant par h la raison de la progression, ce polynômt; a pour expression

j^ - - j^o . X - Xn / X — .r , \ A» Uq

X — xo / X — Xq \ /x — Xo \ A» //„

-^—r-[—h — V---(-Â — "-^'j-TTr-

En effet, si Ton désijçne pary? l'un des nombres o, i, a, . . .,/î, le premier membre devient Upy lorsque Ton suppose dans le second

Jr — .ro

— - — = p ou X = Xf,^

par suite de la formule fondamentale du calcul des différences

Nous avons vu d'ailleurs qu'il n'existe qu'un seul polynôme de degré /i, au plus (n" 73). Le problème revient encore à exprimer le polynôme cherché comme une fonction linéaire des polynômes

•• (I •• •• Il \

dont les degrés représentent la suite complète des entiers de o à //. [^orsque les </ derniers termes de la suite

//o, Amo. A'/zo A'W/„

s'annulent, le degré du polynôme u s'abaisse de q unités.

Inversement, si f{x) est un polynôme de degré /?, on a Tidentité

-. - .7- - ./•„ A/*( o\ X - X, l X - ./o \ Aî/'i o )

109. Fonctions interpolaires d'Ampère. — Nkwton a étendu sa formule au cas où les valeurs données de la variable x ne sont plus en progression arilhinélique [Mcthndus diffcrentialis, i - 1 i ). Posons, par rxeinpl(\ pour // = .>,

// — Xo -T- \ \ix — ./'o ) -r- À> (./•-- .ro ) ( ./• - ./*! ) -i- A3 ' '*' - J^o ^ f X — Xi){X — Xi ) .

En remplaçant successivement x par Xo, ./•,, .r^, ./':i, il vient

Mj— Xo-+- A|(-''2 — -^u)-^ y^ii-rt — Xo) (.r., — .r, ),

M3 = Ao -T- li(Xi — Xo)— li(x3 — .ro }{x.i --xi)-h X3 (Xi — x^, ){>ri — Xi){Xi — x