CHAPITRE XII. — LES POLYNOMES DÉRIVÉS. ao

égale au produit de la puissance /i»*'™« de Tune d'elles par une fonction des rapports des autres variables à celle-ci, et inversement.

Les formules de la Géométrie sont homogènes.

Les dérivées d'ordre/? d'une fonction homogène de degré /i sonl des fonctions homogènes de degré (n — p).

120. Théorème d'Euler. — Toute fonction homogène, et de degré /i, des variables x^ y, z vérifie Tidentité

àf Of ùf

ùx '^ Oy Oz ^ V » ^ » /

on a de même

"" Ô7^ -^"-^^y- ^/Oz -^-'•-n{n-i)f(x,y, z), et, en général, avec la notation du n" 118,

^''/{^jy^ z)^n {n — i). . .(n — p -^ i)/{x, y, 5), après avoir remplacé, dans le développement du premier membre, les exposants de -» t"' t;? P'*^^ des indices de dérivation, et //,

A', / par :r, )', z.

L'emploi des formules d'EuLER permet de transformer des relations en d'autres plus simples, en rendant homogènes des polynômes qui ne le sont pas, par l'introduction d'une nouvelle lettre que Ton considère comme une variable arbitraire, et que l'on remplace ensuite par i.

Soit, par exemple, le polynôme/ (j:), de degré /i, que Ton peui écrire sous la forme homogène

ou f(Xjy).

Pour que ce polynôme soit divisible par (jc — oy)^', il faut et il suffit (n® 113) qu'en remplaçant x par a, et y par i, dans la suite des dérivées

tous les résultats soient nuls. Par les formules d'EuLER, on substitue à ces conditions les conditions équivalentes

dP-^f(a, i) dP-^f(a, i) àP-^Aa, i) ' : — = ^» — i 7~. — =0, ... î = o;

on d'autres termes, il faut et il suffît que les/) dérivées partielles de l'ordre (/? — i), prises par rapport à x et ^', s'annulent lorsque Ton ^- remplace x par a ci y par i .

Exemple I. — Siy(jr,^, -c, . . .) est un polynùme homogène de degré n, on a ridcntité