LE CALCUL SYMBOLIQUE

On doit considérer le calcul symbolique comme une méthode rapide pour l'écriture des formules dans une suite de déductions théoriques ; mais, lorsqu^il s'agit de déterminer les valeurs des nombres fournis par ce calcul, il est indispensable de remplacer la formule symbolique par le développement ordinaire. On fait de même lorsque la suite des raisonnements laisse dans Fesprit une certaine obscurité; alors on remplace encore la formule par les notations ordinaires. C'est donc, en quelque sorte, pour le développement des nouvelles théories, une sténographie des formules de l'Arithmétique et de l'Algèbre.

Cette méthode est déjà ancienne ; on la trouve comme procédé mnémonique dans les écrits de Leibniz, pour les dérivées successives d'un produit de deux ou de plusieurs facteurs; on la retrouve dans la série de Taylor étendue au cas de plusieurs variables; nous l'avons déjà employée dans les formules fondamentales du calcul des différences. Développée plus tard par Laplace, par Vanoermonde et par Herschel, elle a été considérablement augmentée par les travaux de Cayley et de Sylvester, dans la théorie des formes.

Dans un ouvrage intitulé Calculas of Opérations^ Carmichael a exposé les méthodes générales de ce calcul rapide; ses développements se rapportent surtout à l'emploi des symboles d'opération, comme ceux du calcul des sommes et des différences £ et A, et ceux du Calcul différentiel et du Calcul intégral. Mais la méthode symbolique, que nous employons ici, diffère des précédentes sous ce rapport, que les symboles que nous considérons désignent des quantités et non des opérations; nous nous rapprochons ainsi pour une partie de la notation, employée par Cayley, pour les polynômes entiers (quantics). L'application de cette méthode nous a permis de simplifier, d'une manière très notable, les raisonnements et les

2o6 LIVBE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

résultats sur le calcul des sommes et des diflTérences, sur les nombres de BERNOt'LLi etd'EuLER, sur la théorie des séries récurrentes el, par suite, sur la théorie générale des fonctions. Par notre méthode, les développements prennent une forme plus concise, plus condensée, qui conduit à des généralisations successives et indéfinies des propriétés qui concernent les nombres, et des formules qui les renferment. Ainsi, dit Laplace, « la langue de Tanaljse, la plus parfaite de toutes, étant par elle-même un puissant instrument de découvertes, ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont les germes de nouveaux calculs. »

Ce Chapitre contient quelques principes généraux, et leur application à la solution de plusieurs problèmes considérés par Ëuler. Ceux-ci se rapportent aux Permutations figurées et à l'Arithmétique de position ; le Chapitre suivant donne l'application du calcul symbolique au Calcul des sommes et au Calcul des difi<érences.

121. Du symbole potentiel. — Considérons des nombres quelconques

formant une suite limitée ou illimitée, de telle sorte qu'à chaque valeur de l'indice corresponde un nombre déterminé.

Nous désignerons par b le symbole des nombres de cette suite, et nous supposerons que, dans les formules transitoires, b est une quantité assujettie aux lois ordinaires du calcul algébrique et, en particulier, à la règle des exposants entiers et positifs,

A la fin des calculs, on doit remplacer les exposants de b par des indices et les nombres b par ceux de la suite.

Soit un polynôme de degré /i, dans lequel nous mettons en évidence les coefficients du développement de (i -h x)",

fi^x) — boX"-h - biX^-^-\ 6, X'*-* -+-... -T- bnX^;

nous pouvons écrire ce polynôme sous la forme condensée

/{x)^{x-hby\