CHAPITRE XIII. — LE CALCUL SYMBOLIQUE

en ayant toujours le soin de tenir compte de V exposant zéro de b et du nombre correspondant b^.

On voit immédiatement que ladérivée/'(a:) du poljnôme/(j:) peut s^écrire symboliquement

/'(j7)u^/i(ar-4-6)''-i, et, par suite, on a pour la dérivée d'ordre />,

Exemple /. — Si l'on suppose

u féà {x -¥ a)'* y v^{X'^by\

et si Ton considère Texprcssion

y = uV* — u' v'^-^ -h u' v^-^ -h . . . -f- ( — I )« a« t^,

dans laquelle les exposants sont dos indices de dérivation, la fonction y est indépendante de x. (Halphen)

On voit, en effet, que la dérivée j^' est nulle; on obtient la valeur dej', en remplaçant x par o, ce qui donne

y 's^ n\{a — b)'^. Plus généralement, considérons le polynôme homogène

f{^^y)= boanx^'yo-^ - ^,a«,a7«-'j^

H btan^ix'^-^y^ — . . .^ bnaox^y";

nous pouvons l'écrire sous la forme symbolique condensée

en supposant que Ton remplace, après le développement du se= cond membre, les exposants de a et de 6 par des iudices. On trouve, comme précédemment,

Oy ^ ^ ^

On peut donc appliquer à un polynôme s)^mbolique les procédés

ao8 LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

ordinaires de dérivation; d'ailleurs, on peut considérer des polynômes contenant un nombre quelconque de variables et de symboles, tels que

Lorsqu'un polynôme y(x), a une seule variable, n'est pas homogène, on peut toujours l'écrire sous la forme homogène /*(j:,j'); il suffit, dans les résultats, de remplacer ensuite j^ par i; cette remarque s'applique d'ailleurs aux polynômes contenant un nombre quelconque de variables. Ainsi les propriétés des formes homogènes s'appliquent aux polynômes symboliques.

Nous avons supposé que Ton peut représenter par une lettre le symbole d'une suite de quantités données; inversement, on peut calculer successivement les termes d'une suite définie par un symbole. Soit, par exemple, une suite donnée

(a) «Oï ^1? ^2* ' • " ^ni • • . «

on peut, de bien des manières différentes, calculer des suites de nombres qui dépendent des nombres de la suite (a). Posons, par exemple,

(I) bn^(a-^iy»,

c'est-à-dire

Nous allons montrer que l'on peut introduire, dans la relation (i). une variable quelconque z] en effet, ^o\i f{x) un polynôme quelconque

nous avons, d'après la formule (i).

bn ^{a -+-I)", b„-i<é:f(a -Hi)«-S

bi <i^(a -r i)*, ^i h^ (a -h i)S

bo hù:f «ot