CHAPITRE XIII. — LE CALCUL SYMBOLIQUE

En multipliant respectivement ces égalités par/>0) P\j fit •*•)/'/< et en ajoutant, il vient

Cette relation subsiste, quelle que soit la fonction entière /(j*). Nous pouvons donc écrire les égalités

en les multipliant respectivement par

*' "iV ^' 3l' "" n\'

il vient, en ajoutant et en tenant compte de la formule de Ïay- LOR, l'égalité symbolique

Ce procédé d'extension d'une égalité symbolique s'applique évidemment à une fonction d'un nombre quelconque de variables et de symboles. Ainsi, dans la formule précédente, on pourra supposer que z représente un symbole au lieu d'un nombre.

Non seulement les formules symboliques déterminent des nombres par des relations avec des nombres donnés à l'avance, mais elles peuvent servira déterminer les termes successifs d'une suite inconnue. Ainsi, par exemple, la formule

pour/i>i, en supposant Bo=^i, B| = , permet de déler-

rainer successivement des nombres B2, B3, 13^, .. ., et ainsi indéfiniment; nous verrons plus loin que ces nombres sont fort importants dans les développements de l'Arithmétique et de l'Algèbre ; on les appelle nombres de Bernoulli. Nous devons ajouter que, pour la simplification des raisonnements et des formules, il nous a paru indispensable de modifier légèrement les notations ordinaires de ces nombres.

210 LIVRE II. — LES NOsTbRES RATIONNELS.

122. Du symbole exponentiel. — Au lieu de mettre en évidence, dans le développement de/(x), les coefficients du binôme, on peut y mettre telle suite régulière ou irrégulière de coefficients donnés à Tavance; ainsi, par exemple, nous pouvons toujours écrire un polynôme /(x), de degré n, sous la forme

f{x) = ao -f- -; T 4- ^ X' + 3-] ar»-l- . . . -i- ^1 ^''.

Nous désignerons ce polynôme par la notation condensée exp ax, que nous appellerons la forme symbolique exponentielle. Nous allons d'abord donner les dérivées successives d'un polynôme écrit sous cette forme. Soit donc

En supposant le polynôme développé et en prenant la dérivée, on vérifie immédiatement que l'on a

f (x)<^ a* c\p ax, et, en général,

Le développement de la puissance d'un binôme peut s'écrire

sous la forme exponentielle ; ainsi, si l'on désigne par/?/i le nombre

des arrangements simples de p lettres prises n k n, c'est-à-dire

si l'on pose

Pn = p{p — I) ...(/> — /n- 1),

on a la formule

on a, de même, pour d'autres valeurs de l'exposant,

(i -\- x)*! ^é^ t\p qx\ (i -^xy ^ exp rx\

supposons r=ip-\'q\ la formule du binôme de Vandermonde peut s'écrire sous la forme condensée

(») rn'^i.p-^qY;

et, par suite,

(2) exp/?a: X exp^a7^exp(/?-4-y)a:.