CHAPITRE XIII. — LE CALCUL SYMBOLIQUE

D'ailleurs, puisque les développements des biDÔmes de Newtok et de Vandermonde ne reposent que sur la règle des exposants, à savoir

il en résulte que l'identité (2) subsiste pour deux poljnômes exponentiels quelconques, e^^px et exp^x, et que le produit de ceux-ci est un polynôme exponentiel, exp rXj dont les coefficients se déterminent par la formule (i).

Le théorème précédent s'applique au produit d'un nombre quelconque de polynômes exponentiels, et ainsi

exp (aar).exp (ôa:).exp (ca?) «die exp (a -h 6 -h c)x, expaor. exp bx . exp ex . ex^dx^ exp (a-h b — c -+- rf)ar.

Cependant, on doit observer que, si deux polynômes deviennent identiques, on n'a pas le droit d'écrire

(exp axy^ exp lax;

mais il faut calculer les coefficients b du carré de la forme c\pax, par la relation

en considérant d'abord comme distincts a et a', et en remplaçant ensuite, dans le résultat final, a" et a'" par a,,.

123. Problème des rencontres. — Nous appliquerons les méthodes du calcul symbolique à plusieurs problèmes sur les permutations et, en particulier, au célèbre problème du chevalier deMoNTMORT, traité par EuLER, et connu sous le nom àe problème des rencontres. Il s'agit de déterminer le nombre des permutations de n éléments

ai, aj, . . . , Gnj

dans lesquelles aucun élément n'est placé à un rang égal à son indice. Ce problème revient évidemment à déterminer le nombre des permutations figurées (problème des tours, n° 43), dans lesquelles il ne se trouve aucun élément sur l'une des diagonales, telle que aa! {Jig* 68).

Désignois par Q,| le nombre des permutations dans lesquelles

31? LIVHB II. — LBS KOMBBBB H ATIONNBLS.

aucun élémeat n'est à son rang naturel, et par P„ le nombre total n] des permutations. Soît b l'une des (n — i) positions de la tour, sur la première colonne, la case a du coin étant exceptée, d'après l'hjpothèse. Nous devons considérer deux cas, suivant que, dans la ligne inférieure, il y a une tour b' symétrique de b par rapport à la diagonale na', ou en une autre position quelconque c. Dans le premier cas, en supprimant les ligues et les colonnes con-

Fig. 6B.

{■roblême de^

tenant b et b', il reste un ensemble de cases qui correspond, dans la question présente, à un échiquier de (n — 2) cases de côté. Dans le second cas, échangeons les colonnes contenant b et c; alors c vient en a, et b sur une case non située sur la diagonale; par suite, en supprimant la première ligne et la première colonne, il reste une solution sur l'écbiquier de (h — 1) cases de côté; on a donc la relation de récurrence

On trouve ainsi successivement, pour les premières valeurs de n,

Q„|i, o, I, a, ;j, 44, a65, iSJ^, ii833.

On observe immédiatement, pour les premières valeurs de n, en divisant chaque nombre Q par le précédent, la loi suivante