CHAPITRE XIII. — LE CALCUL STMBOLIQl'E. ai

nous allons démontrer que celle relation est générale. En eflfcl, si xlans la relation (i) nous changeons n en (n -\- i), il vient

Q/i-Hi = /i(Q/i-+-Q/i-i); en retranchant de la précédente, on trouve

c'est précisément la relation (2), dans laquelle on remplace // par(/i-Hi). Ainsi, cette formule est générale. En divisant ses deux membres par P,,= /i!, nous avons

si l'on fait successivement /i ^ 2, 3, /{, . . ., et si Ton ajoute les égalités obtenues, il vient

Q « I 1^ j ^ ( — iv^

La méthode précédente ne diffère de la solution donnée par EuLER que par la forme géométrique (*). Nous exposerons une autre méthode fondée sur le calcul symbolique; cette solution, très remarquable par son élégante simplicité, est due à M. Neu- BERG (voir Mathesis, t. I, p. 25).

Considérons Tensemble de toutes les permutations, c'est-à-dire de toutes les solutions du problème des tours, en nombre P/,. Parmi celles-ci, le nombre des solutions ne contenant aucun clément à son rang, c'est-à-dire aucune tour sur la diagonale, est, par définition, égal à Q„. Le nombre des solutions contenant une seule lour sur la diagonale est, comme on le voit en supprimant la ligne et la colonne contenant cette tour, /iQ,i|. En général, le nombre des solutions qui contiennent/? tours sur la diagonale est

(*) Recherches sur une nouvelle espèce de carrés magiques {Mémoires de la Société des Sciences de Flessingue, t. IX; 1779). — A propos de la relation (a ), EuLER ajoute : « Mais je dois avouer que je n'ai trouvé la propriété de déterminer chaque nombre par le seul précédent que par induction, et je ne vois pas trop bien comment on pourrait la déduire de la nature de la série. » Cette difficultéi signalée par Euler, a été résolue par M. Neuberq.

2l4 LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

égal au produit de Qn-p p^i* 1^ nombre des manières de placer p objets sur n cases, ou le nombre Q des combinaisons de n objets pris p k p. Enfin le nombre des solutions contenant n tours sur la diagonale est i ; |)ar conséquent , en posant conventionncllement Qo= i, on a

ou, symboliquement,

ainsi, les symboles P et (Q4-1) sont équivalents dans les formules algébriques; on a donc, avec une variable x, Tidentité

vl en supposant x ^= — i , il vient

Plus généralement, si Ton désigne par A^ le nombre des airan' gemcnls simples de m éléments pris n à n et par B^ le nombre des arrangements discordants avec un arrangement, c'est-à-dire des arrangements tels qu'aucun des éléments n'occupe la même place que dans l'arrangement donné, on a encore les formules suivantes, indiquées par M. Neiberg :

Vj, %A-(i - uy, iiNcc ti,, --. Bï,-^p;

Bïi ^ n î e\p(— «• ), > IV,, - GJrJ;,.

Après le développement des seconds membres, on doit remplacer les exposants de w, r, iv par des indices, puis Wy,, r^, Wp par les valeurs indiquées, C désignant des combinaisons simples.

Exemple /. — Développer l'expression (Q»: V,,) c" produit continu. On déduit des formules (1) et {'à)

Qn <V i Q« .