CHAPITRE X1I1. — LE CALCUL SYMBOLIQUE. ai

par suitCf en remplaçant successivement n par 2, 3, . . ., az, et en multipliant, membre à membre, les égalités obtenues, il vient

Ce calcul a été indiqué par M. Hermès {Archives de Grunert).

Exemple II. — Problème des ménages, — Des femmes, en nombre /i, sont rangées autour d'une table, dans un ordre déterminé; on demande quel est le nombre des manières de placer leurs maris respectifs, de telle sorte qu'un homme soit placé entre deux femmes, sans se trouver à cùté de la sienne?

Le problème revient évidemment a déterminer le nombre des permutations discordantes avec les deux permutations

I, 2, 3, 4, ..., (n — 1), /?, *» j^ jjf jj ..., /*, I,

c'est-à-dire à déterminer le nombre des manières de placer n tours sur l'échiquier, de telle sorte que ces tours ne soient pas mutuellement en prise, et ne se trouvent pas situées sur les cases de la diagonale ascendante ^ , ni sur celles de la parallèle immédiatement au-dessus, ni sur le

coin inférieur à droite.

Nous ne connaissons aucune solution simple de cette question, dont l'énoncé donne lieu à Tétude du nombre des permutations discordantes de deux permutations déjà discordantes et, plus généralement, du nombre des permutations discordantes de deux permutations quelconques.

124. Des permutations figurées, symétriques par rapport à une diagonale de Fèchiquier. — Nous commencerons par déterminer le nombre D,, des permutations qui sont symétriques par rapport à la diagonale ao! (Jïg, 69). Deux cas peuvent se présenter, suivant que la tour placée dans la première colonne est au coin a de la diagonale, ou en fr, case quelconque de cette colonne autre que a. Dans le premier cas, en supprimant la ligne et la colonne qui contiennent a, il reste un échiquier de (/i — i) cases de côté. Dans le second cas, à la tour b correspond nécessairement la tour b\ symétrique par rapport à la diagonale. En supprimant les lignes et les colonnes qui contiennent b et fr', il reste un ensemble de cases que l'on peut considérer comme celles d'un échiquier de (/i — 2) cases de côté; mais b peut occuper (/? — i) places. On a donc la relation de récurrence

■Il6 LIVIB II. — LES NOMBRES BATIOHKEIS.

OU, en posant Dn = u,,^ el en changeant n en («H- i), et, en général,

Un trouve, par an calcul direct, les valeurs suivantes :

La relation (1) ne permet pas d'obtenir facileinent Dn en fonction de n ; mais on y parvient de la manière suivante. Lorsque, dans une solution quelconque D„, symétrique par rapport à la diagonale aa', on échange les colonnes contenant deux positions symétriques, telles que b et b', et qu'on fait la même opération pour tous les couples de positions symétriques, on replace toutes les tours sur la diagonale aa'. On voit donc que le nombre des solutions, dans lesquelles toutes les tours, à l'exception de deux, sont

Fig. 69.

^ï^Wi"^

Mil t ' 1 '

situées surla diagonale, est le nombre des combinaisons simples C,^ ; on voit ensuite que le nombre des solutions dans lesquelles toutes les tours, à l'exception de quatre, sont situées sur aa', est

1.2 " " ' puis on reconnaît que le nombre des solutions dans lesquelles