CHAPITRE XIII. — LE CALCUL SYMBOLIQUE. 2I

i'échîquier de n cases de côté; il est évident que le problème ne comporte aucune solution pour n impair; d'autre part, on voit facilement, par la considération de la Jîg. 69, que Ton a

par suite,

Tj„ = 1 . 3 . 5 . . . ( 9. w — i), et

Nous avons obtenu précédemment (n° 124) le nombre D« des permutations figurées qui sont symétriques par rapport à une diagonale. En appliquant le raisonnement de M. Neuberg (n^ 123), au cas qui nous occupe, on trouve la formule symbolique

D'»çAo(T-f-i)«, et, par suite (n° 121 ),

T"%Ao(D — i)".

127. Des permutations figurées qui sont symétriques par rapport au centre et qui n'ont aucune tour sur une diagonale. — Désignons par S„ le nombre cberché pour l'échiquier de n cases ; on a d'abord, pour l'échiquier impair,

l^orsque le côté 2/1 de l'échiquier est pair, on a trois cas à considérer :

I** La tour de la première colonne, à gauche, est au coin qui ne fait pas partie de la diagonale considérée / ; alors, en supprimant les bords de l'échiquier, il reste un échiquier de (2/1 — 2) cases de côté; on a ainsi S2/1-2 solutions.

2^ La tour a de la première colonne n'étant pas dans un coin peut occuper (2/1 — 2) places; s'il existe, dans la ligne inférieure, une tour a! symétrique de a par rapport à la diagonale ^, la suppression des lignes et des colonnes, contenant a, a! et les cases symétriques par rapport au centre, donne un ensemble de cases qui correspond à l'échiquier de (2/1 — 4) cases de côté; on a ainsi {in — '^)S2/i 4 solutions.

3° La tour est en a et la tour de la ligne inférieure n'est pas la symétrique de a par rapport à la diagonale; alors on échange les

deux colonnes, comme au n" 123, ainsi que les colonnes symétriques par rapport au centre, et Ton supprime les bords de l'échiquier; il reste alors un échiquier de (2/1 — 2) cases de côté ; d'ailleurs a peut occuper (a/i — i) places. On a donc

Si„ = (a/i — 2) S,„,-+- (2/1 — 'à) S,„v.

Par la méthode de M. Neuberg, on trouvera, comme au n® 123, ridentité symbolique

Gi/»%A^(S«-M)«, avec So = i, Go = i,

dans laquelle G2/1 désigne le nombre des permutations figurées qui sont symétriques par rapport au centre de l'échiquier (n" 43, Ex, II), Ainsi les symboles G* et (S^-j- i) sont équivalents, et l'on a

ou, en se reportant à la valeur de G2//,

Sj,, = !i«/l! 2'»-l(/l — Ijî -r-. . . -r- (-- l)« ;

d'ailleurs, on a encore

Gj^^a^P,,, et S^"^{iV — \Y.

128. Des permutations figurées qui sont symétriques par rapport aux deux diagonales de l'échiquier et qui ne contiennent aucune tour sur une ou deux diagonales. — Nous désignerons respectivement par U« et par ¥„ les nombres des permutations qui ne contiennent aucune tour sur une diagonale, ou sur deux diagçnales, dans l'échiquier de n cases de côtés. On a d'abord

En se servant des méthodes employées précédemment, on obtient les formules de récurrence

Ujrt = Uj„jH- (2/1 — 2)U,«.t, Vj,i = (2/1 — 2)Vj„4,

d'où l'on déduit