XXIV INTRODUCTION

géométrique du développement de ^i par la méthode dile drs fractions continues^ retrouvée au xvi* siècle par Cataldi, mais qui était bien connue des géomètres indiens sous une forme plus élégante, plus systématique. Pour la résolution des problèmes, ils avaient imaginé l'analyse indéterminée du premier degré et du second degré; on en retrouve des exemples sur les papyrus et les obélisques des Égyptiens.

L'extraction de la racine carrée d'un nombre entier A avant été reconnue impossible, en démontrant qu'on ne pouvait résoudre en

nombres entiers IVquation

ils avaient remplacé celle-ci par Téquation, dite de Pkli.,

Les ouvrages de Brahmegupta et de Biiascara Acharya donnent la manière de déduire, dune seule solution, toutes les autres solutions entières d'une équation indéterminée du second degré à deux inconnues, et cette analyse, que nous attribuons à Euler et à Lagrajvge, était connue aux Indes depuis plus de dix siècles! Mais nous devons rappeler surtout l'admirable et rapide procédé

d'extraction de la racine carrée que nous expliquerons sur y •^.. On considère a comme le produit des nombres i et 2 ; on en prend la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique, et l'on obtient les deux nombres f et | dont le produit est égal à 2; en ré[)étant sur ces deux nombres l'application du procédé, on obtient les deux nombres fj et f^ de produit 2, puis les deux nombres jj^ et |y^, et ainsi de suite. On arrive ainsi rapidement à deux suites Ai* nombres : les moyennes arithmétiques et les moyennes harmoniques. On démontre facilement par le calcul ou par une figure géométrique que les premières vont en décroissant, en surpassant ^'à\

que les secondes vont en croissant sans dépasser y/2, et que la différence des deux moyennes du même rang décroît avec une très grande rapidité.