CHAPITRE XIV

Nous exposerons dans ce Chapitre les principaux résultats sur le Calcul des sommes, que l'on appelle improprement Calcul inçerse des différences. Ce calcul a pour but de déterminer la somme des valeurs numériques que prend un polynôme donné, lorsque Tony remplace la variable par des nombres en progression arithmétique. En particulier, ce calcul donne la somme des puissances semblables des termes d^une progression arithmétique ; plus particulièrement, il donne la somme des puissances semblables des nombres entiers.

La somme des carrés des premiers nombres entiers était connue d'ARCHiMÈDE, qui en a fait Papplication à la détermination du volume de la pyramide et de Taire du segment, dans la parabole et dans la spirale. On la trouve aussi dans les ouvrages des géomètres (le rinde, et dans le Liber Quadratorum de Fibonacci. Les géomètres indiens ont encore donné la somme des cubes des n premiers nombres, au moyen d'une méthode fort originale que nous avons développée.

Le second procédé de sommation est celui de Fermât; il est général. Pour trouver la somme des valeurs numériques que prend un polynôme y{x) lorsque Ton remplace la variable x par des entiers consécutifs, Fermât développe le polynôme f{x) suivant une somme algébrique de factorielles dont les facteurs représentent des suites d'entiers consécutifs (n° 102), telles que

ce procédé est le plus simple et le plus rapide, puisqu'il ne suppose que la théorie de la division algébrique. En appliquant à ce procédé la formule d'interpolation de Newton (n** 108), on obtient facilement le développement de f{x) en somme de factorielles

consécutives, et ainsi, au moyen des formules du n° 37, on peut calculer rapidement

s/(^), 2:2/(07), 2SV(^)..

pour des valeurs entières et consécutives de x^ en progression arithmétique. Nous développons plus loin, au n° 137, la théorie générale de ce procédé.

Le troisième procédé a été exposé par Pascal, dans son Traité de la Sommation des puissances numériques. Il consiste à calculer successivement, par récurrence, les sommes des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique au moyen de toutes les sommes des puissances dont les exposants sont plus petits. C'est le procédé qui est habituellement employé dans tous les cours de Mathématiques; cependant, bien que nous Payons beaucoup perfectionné, il est notablement inférieur au procédé de Fermât, et à celui de Jacques Bernoulli, dont nous allons dire quelques mots. •

La somme des puissances semblables, d'exposant /?, desx premiers termes d'une progression arithmétique est un polynôme de degré (/i-Hi), en x^ ainsi qu'on le déduit immédiatement des deux procédés que nous venons d'indiquer \ mais, si l'on met en évidence, dans le développement de ce polynôme, les coefficients de la puissance correspondante du binôme, on parvient à la connaissance d'une suite unique de nombres, que l'on appelle nombres de Bernoulli, qui se reproduisent pour tous les exposants. Ce fait remarquable permet alors d'établir des formules générales pour les somnialions des puissances numériques.

Enfin nous rappellerons le procédé indiqué par Abel, qui donne lieu à des formules Intéressantes; mais c'est un procédé détourné cjuc nous avons expliqué au n° Lli i^Ex, 7).

129. Sommation des carrés et des cubes. — Nous désignerons par Sj, S2, S3, ... les sommes des n premiers nombres entiers, de leurs carrés, de leurs cubes, .... Pour obtenir la somme des carrés, on part de l'identité

Ci) n'^= {n — \)n-\- n\

«i l'on y remplace successivement n par 1 , 2, 3, . . . , /?, et si l'on E. L. — L i5

'à2l\ 1.1 VRi: II. -- LES NOUDIIKS RATIONNELS.

fait la somme des égalités obtenues, il vient par la formule de soiiiniation des facturielles -'n" 37)

Sj— î(/i — I) /i(/i -r- I » -T--}-n(/i-t-i);

en simplifiant, on trouve la formule déjà obtenue (n" 39)

Sj= \n{n -f-i)(';i/i -f-i).

Pour avoir la somme des cubes, multiplions le premier membre el le dernier lerme de lïdcntilé (i ) par /i, et le premier terme du second membre ])ar {n - \ i , afin d'introduire des faclorielles: il eu résulte Tidentité

si Ton j' rt'mplaee successivement n par i , 2, v^, ...,//, et si Ton fait la somme des égalités obtenues, il vient

K\\\ remplaçant n{ji -- i)par -.iSi, et i // — 1) /î-:-ii) par (aSi — 2),

Eremplc I. — On parlajie la suite des iioml)res impairs en groupes contenant respectivement 1, -jt, 3 p termes; trouver la somme des/» termes

(in j;roupe de ranj; />.

Le groupe de ran^ /> est une prop^ression arithmétique de raison 1, contenant/> termes et dont le premier a pour expression