I -+- ,1 ou p- — />-f-i

la somme des termes de ce groupe est donc égale à p^. Celte propriété a été indiquée par NicoMAQiK. de Gérase uoo ans environ après J.-C). Par suite, la somme de-^ n premiers cubes vaut la somme des Si premiers nombres impairs, nombre é^al à celui des termes des/; premiers groupes; ainsi, encore, on démontre que S3 = », S|^'.

Exemple II. ■- On partage la progression arithmétique commençant par I et de raison 1^7 — ■>) en groupes contenant respectivement i, a, 3,

4 p termes; ln>u\er la somme des termes du groupe de rang/> et la

somme des termes des n premiers groupes.

On trouve, pour le groupe de rang/?,

, ,.KP — \"^pip-^\'^ p^-^iq- a)- ^-^^ ;

par conséquent, si Ton fait la somme de tous les termes renfermés dans

CUAP. X.IV. — SOMUATION DES PUISSANCES KUl^ÉRIQUES. '1%'J

lc< n premiers groupes (leur nombre est égal au polygonal de q côtés dunlle rang est le n'*''"" triangulaire Sj), on obtient le carré de ce triangulaire Si. augmenté du triangulo-triangulaire de rang {n — i) multiplié par Z{q — 4)* En d'autres termes,

["(iLtl)]V3(,-4)^-

Le théorème précédent est une interprétation d'un passage obscur de Fermât, qui se trouve à la suite de la proposition 27, livre II, de l'Appendice de Baciiet aux nombres polygonaux (voir notre Mémoire: Sur un théorème de V Arithmétique indienne^ publié dans le Bullettino di Bibliografia, t. IX; Rome, 187G).

Exemple IIL — On partage la progression arithmétique commençant par i et de raison 4» qui produit les nombres hexagonaux, en groupes contenant respectivement 1, 3, 5, 7, ... termes; trouver la somme des termes du groupe de rang/?.

Ce groupe est une progression arithmétique de raison 4» contenant ^p — i) termes, dont le premier est

par conséquent, la somme des termes de ce groupe est

[i-h4(/> — \Y-\-i(ip — 2)l(9./> — II. OU {ip — \y.

On en déduit que la somme des n premiers cubes impairs est égale au nombre hexagonal de rang /i', c'est-à-dire à /i'(2/i^ — 1}.

Exemple IV. — On partage la suite des nombres entiers en groupes contenant respectivement i, 2, 3, 4? ••• termes; démontrer que la somme des termes renfermés dans les n premiers groupes de rang impair est égale à n>.

Exemple V. — Pour quelle valeur de x la somme des carrés des (/i -h i) entiers consécutifs, dont le dernier est x^, vaut-elle la somme des carrés des n entiers suivants; quelle est cette somme?

On doit poser

= (:rH- i)2-T-(a?-+- 2)*-T-. . .-T-(a--T- w)^ c'est-à-dire

d'où l'on lire

X = in{n ■+- 1);

la somme de ces carrés est

(l2/l*4-I2/l-+-l)St.