Sommation des bicarrés. — Reprenons ridentilé

multiplions par n le premier membre et le dernier terme du second membre, et par (n 4-2) — 2 le premier terme du second membre, afin d'ublenir des factorielles ; il vient

Remplaçons successivement n par i, 2, 3, . . ., /i, et ajoutons les égalités obtenues; nous avons

S4 = -i-(/i — i)/i(/i-T-i)(/i-l-2)(/i-h3) — ^(/i — i)/i(/n-i)(/i-h'2)-hSj;

remplaçons n(n -\- 1) par 2Sj, et (n — i)(/i H- 2) par (281 — 2), il vient tout de suite

et encore, en remplaçant (4 /i -4- 2)81 par 6 82,

5S4=S,(6Si— 1;.

La première des deux formules précédentes a été donnée par Fermât dans sa lettre à Roberval du 4 novembre i636 : a Si vous multipliez le quadruple du plus grand nombre augmenté de 2 par le carré du triangle de ce nombre, et si du produit vous retranchez la somme de leurs carrés, vous obtiendrez la somme quintuple de leurs quatrièmes puissances. 11 semble que Baciiet, dans son Traité des Multangulis, n'a pas voulu tâter ces questions, après avoir fait celle des carrés et des cubes. Je serais bien aise que vous vous exerciez pour trouver la méthode générale, pour voir 81 nous nous rencontrerons. »

Avant Fermât, la somme des n premiers bicarrés a été donnée par le médecin Djamchid ben Mas'oud, qui prit part à la rédaction des Tables astronomiques d'OuLOUG-BEG. On lit dans un manuscrit conservé au British Muséum f daté de iSSg (997 de l'hégire), un passage qui a été traduit ainsi : « Si nous désirons connaître la somme des bicarrés, nous retranchons I de la somme des premiers nombres et nous prenons constamment le cinquième du reste; nous l'ajoutons à la somme desdits nombres et nous multiplions ce qui en provient par la somme des carrés des mômes nombres. » On a donc

formule équivalente à celle du texte, et préférable dans Tapplicatloo à celle de Fermât, puisqu'elle donne le quotient de S^ par S^.

Cependant, c'est a Fermât que Ton doit le principe de la méthode générale pour trouver les sommes des puissances semblables des nombres entiers. Il dit encore, dans la lettre que nous venons de rappeler : ail faut, étant donné un nombre, in progressione naturali, trouver la somme non seulement de tous les carrés et cubes, ce que les auteurs qui ont écrit ont déjà fait, mais encore la somme des carré-carrés, des carrécubes, etc., ce que personne que je sache n'a encore trouvé, et pourtant cette connaissance est belle et de grand usaf^e, et n*estpas des plus aisées; fen suis venu à bout avec beaucoup de peine, »

Exemple I. — La somme alternée des carrés des 2/1 premiers nombres impairs est égale à — S/i^.

Exemple //. — On partage la suite des nombres impairs en groupes tels que le n'*^™*" groupe ait (i -i- 5» -+- 3 -f-. . .-^/i) termes; la somme des lermes de ce groupe est égale au produit

Exemple III . — On partage la suite des nombres impairs en groupes tels que le /i'*™" groupe ait an termes; la somme des termes de ce groupe est a'/i'.

Exemple IV. — La somme des /i* nombres entiers, qui suivent les n premiers, est double de la somme des n premiers cubes.

Exemple V. — On partage la suite naturelle des nombres en groupes tels que le /i'*'™" ait/>« termes; la somme des termes de ce groupe est

Exemple VL — Si l'on fait de même, pour la suite des nombres impairs, le groupe de rang n a pour somme

pn-^\( pft^ pn-\ . .. 7)

Exemple VU, — On partage la suite des nombres impairs en groupes consécutifs comprenant chacun un même nombre/? de termes. Quels sont les groupes dont la somme est un carré?

Ceux dont le rang est la somme de deux carrés consécutifs.

Exemple VIII. — Si l'on partage la suite des cubes en groupes consécutifs tels que le /t'*'"® renferme n termes, la somme des termes du /i'*""* groupe est

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/f/ • / f/^f • fU* fi |/M f#<M M fê^whtt » itti^f^'tfh ^«t QD carré, f « • f iifiti» t • ii* t ffi t$l fti'ttiti-% <|iii ^tt i-f.i-Af.nX v>Dt dos à M. dc Rooqcigm

/ thtufifr i // On I tiiiuitUtr \t*% tU'MX suites des n premiers nombres

ntt iMithl|ihi' I Ih«i|imi ifiiiiit ilo lu |ii'iMiii(^rt* |inr le terme placé au-<]essoos. I A 4iMMMh' •It» )iiiiiluii« nliiiMniH o«l rKitlr an /i'«n« nombre pyramidal.

>' ^'•- •.^" V»* .» " rt-^ . ' , 1 ■ ,• I ; ,'..- * t fV. -• . f»a iai5«Bi U

- ^ '^ ' ■ ■ V ■ -^ ■ r..V->^ - -Oîm rrî»lî ""-Sphi

CHAP. XIV. — SOMMATION DES PUISSANCES NUMÉRIQUES. 23l

Exemple XTV. — Si Ton fait la somme des boulets contenus dans les n premières piles triangulaires, en groupant les tranches de même rang, à partir du haut, on trouve (n° 38)

Exemple JCV. — En opérant de même sur les piles à base carrée, on a (n«>38)

i.«*-H!i.(/i— i)2-^3.(/i — iy -\-...-i-{n — l).2*-H/l.I*=

Exemple A'Vf. — On considère les deux suites

on multiplie chaque terme de la première par le terme placé au-dessous; la somme des produits obtenus est

Exemple JCVII. — Même question, en remplaçant les n premiers nombres entiers parles n premiers nombres impairs. On trouve

Exemple JCVIII. — Dans un jeu de dominos jusqu'au double /i, on remplace le domino (a, b) par aP-\- bP\ trouver la somme des points obtenus après cette transformation?

Considérons les arrangements complets des nombres o, i, 2, . . ., /i, pris deux à deux, rangés comme dans la table de Pythagore ; remplaçons chaque nombre a par aP\ en faisant la somme, par lignes ou par colonnes, on trouve (2/1 -+-2) fois la somme S^ des puissances d'exposant/? des n premiers nombres; ajoutons deux fois la somme Sp pour les doubles. Les dominos ayant été comptés deux fois, la somme cherchée est égale à (n-i-2)Sp.

Mêmes questions, en remplaçant le domino {a, b) par (a -h 6)/^, ou encore par (ab)P,

Exemple JCIA'. — La somme des n premiers triangulaires de rang pair a pour expression

131. Méthode indienne. — Considérons la Table démultiplication coDtiniice jusqu'au produit de n par n\ la somme des

pour le développement de Sy,|. Mais on doit constater ce fait rc ma rq noble f que si l'on passe de la somme S/,i à la somme Sp, pour l'exposant suivant, il suffit d'ajouter, aux équations (2), une nouvelle équation

tout en conservant les précédentes; on n'a qu'un seul nouveau coefficient By, à calculer. On a donc le théorème suivant ( * ) :

*S7 ron désigne par B^, B,, B^, ... une suite de nombres déterminés successivement par des équations de la /orme

avec les conditions initiales B^ = i , B| = — j, et pour /i > 1 , on a r identité

(4) /?S,,,%A-(j--r-B)/'— Bp.

Les coefficients B ont été appelés par Euler les Nombres de Bcrnoulli ; pour la somme des puissances des x premiers nombres, on remplace B| == — ^ par B, = + ^. D'ailleurs, puisque ^2p-i est divisible par S3 et, par conséquent, par x^^ les nombres de liernoulli d^ indice impair sont nulsy à V exception de jji — -4- ^.

De la formule (4), ou lire

cette formule permet de déterminer Sp par voie d'intégration, en calculant chaque fois la constante B^ par l'une ou l'autre des conditions S;,= I pour X = '2, et Sy,= o pour x = i .

( * ) Ce théorème a été donné sous une forme difTérente par Jacques Bernoulli ( Ars conjectandi, 1713); la formule (4) a été indiquée par Moivre dans ses Miscellanea analytica, mais aussi sous une forme différente. Nous devons faire observer que, pour la simpliûcation des formules de cette théorie, nous avons dû modifier les diverses notations, employées jusqu'ici, des nombres de Bernoulli.

On trouve ainsi, pour les premières valeurs de/?,

Si = i 071 qz i a-,

S, = \ x^ rr. J x^ H- J X,

Se = -l x"^ -^^x^ -h i j-5 — 1 x'— V*- X, S7 = A ar8 :i,j i a;^ -^ J- x6 — ?- a;^ -f- /^ a?*,

Ss -- i .r9 — i J^8 -r- f ar7 - -j^5 5r5-H | x' - 3L a*,

Su — L :rio — 1. :r9 -;- 1 zr» L j»6 i- J. :r* 3 yî

Su = :j»j J-»*^ J xi» -t- ; J ario— -y. 3^8-^ -M- ar6 — Y ^*-^ û ^-•

Le signe — se rapporte à la somme des puissances des (x — i) premiers entiers et le signe -f- à celle des puissances des x premiers.

Mais, pour de plus grandes valeurs de />, il est préférable de développer la formule (4) en mettant en évidence les coefficients du binôme et les nombres bernouUiens, qui ont été calculés par M. Adams jusqu'à B|24. Quant aux nombres B, leur calcul le plus rapide se fait au moyen des formules données dans le numéro suivant, ou encore par l'emploi du beau théorème de Clausen et de Staudt, qui sera énoncé et démontré au Livre UL

135. Nombres de Bemoulli. — On a, pour les premiers nombres, les valeurs

Bg — — :;- > Bio = -f-:77. »

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Bi4=-h-> Bie= 7