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24o LIVIIK II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

Ces noinl)res jouent un 1res grand rôle dtans l'Analyse mathématique; nous allons donner ([uel([ues autres formules importantes. Désignons pary(jr) un polynôme entier quelconque

et reprenons Tidentité symbolique

si nous y remplaçons successivement n par/>, [p — i), • • • , 3, 2, 1 , et si nous ajoutons les égalités obtenues, après avoir multiplié respectivement par r/©, ^/| ^/>-i? il vient

C'est V identité symbolique fondamentale pour le calcul des nombres bernouUiens. Si l'on suppose successivement que J{x) représente

{ix—i)P, j*(j"-H n. . .(X -H/> I, {x — \)x. ,,{x -^p — \)^

on trouve, en faisant ensuite x = o, les formules de récurrence

(•2B -r- 1)/'— (aB — iy%fie'i/'( — i)/'-S

(./>-}- I) B(B -7-1). ..(B ^-/> — i) %Ûrf— (/; — I)!. Si l'on suppose encore

pour /> et (<7 — 1) entiers et positifs, l'identité fondamentale donne la relation

B/'(B -4- i)'/— B'/( B — xy-^ o.

Cette formule présente, pour le calcul, l'avantage de ne pas contenir tous les coefficients B, mais seulement ceux dont l'indice est compris entre ^p^q et B^, en supposant Q <iP' Elle a été indiquée par Sterîj {Journal de Crelle, t. 81, p. 216); la démonstration précédente, qui la rattache à notre identité fondamentale, a été donnée par M. Radicke {Journal de Crelle, t. 89, p. aSy).

CIIAP. XIV. ~ SOMMATION DES PUISSANCES NUMÉRIQUES. '24l

Exemple I. — Démontrer la formule

Exemple II. — Démontrer la formule

B/'CB -+- i)7(B -f. aKCB -+- S)***, B'(B - i)''(B — 2)7(B — 3)/',

dans laquelle />, q — i, r — i, 5 — i sont des entiers positifs. On pose dans l'identité fondamentale

f(x) =^xP(x-^i)'i(X'h lyix-h 3)*;

on remplace ensuite x par — i , — a, — 3, et l'on fait la c des éga-

lités obtenues.

On peut trouver des formules analogues pour les sommes S.

Exemple III. — L'identité fondamentale (i) peut être généralisée. En effet, on peut, avec les notations des différences et des différentielles, récrire sous la forme

en supposant Ix = i] de même, par l'introduction d'une autre variable j-^ et pour des accroissements de x et dey égaux à i,

et ceci s'applique à un nombre quelconque de variables. H ne faut pas réduire les B avec les B', les B", . ..; mais, lorsque le développement symbolique du premier membre sera effectue, on remplacera les exposants de B, B', B", ..., par des indices. On obtiendra ainsi des relations contenant les produits deux à deux, trois à trois, ... des nombres de BersoiLLi (Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences; Paris,

Nous allons encore démontrer la formule générale

(..) .AB^-hS)+/(Bx)^a.'/(B),

d.ins laquelle on remplace, après développement, les exposants de 13 et de S par des indices.

En effet, considérons le polynôme en y

E. L. — 1. iG

si roii fait la somme, on obtient une première expression

yP ' —l . — : .

Ce résultat subsiste lorsque l'on remplace y par une quantité sj^mbolique, et, par exemple, par ISfx, en désignant par B' les nombres bernoulliens ; mais, si l'on se rappelle que (B-f- 1)** — B* s'annule pour nZ>i et devient l'unité pour ai = i, Texpression précédente, où l'on remplace y par Bx, devient xBp; on a donc

(3) {Bx)P---{Bx-^i)P^. .. {Bx-\-x — i)P^xBp, et, par l'emploi du symbole S,

(4) {Bx-r-S)P'r- {Bx)p^xBp;

d'où l'on déduit ensuite la formule (2).

En particulier, pour x = •>., la formule (3") devient

(5) (aB-T-i)/'H-(2B)/'%A#aBA';

par conséquent, les nombres de Bernoulli vérifient la relation

(6) /(aB -r- I) -r-/('2B)ç^2/(B).

136. Formules générales de sommation. — Soient /(x) un polynôme quelconque et F(x) le polynôme intégral, l'identité fondamentale du numéro précédent peut être écrite ainsi

Si l'on remplace successivement x par o, 1,2, . .., (x — i), et si l'on fait la somme des égalités obtenues, il vient

En se servant des notations du Calcul intégral, on a la formule symbolique suivante, dont l'application est très facile,

(I) 2 /^^)^J A^)dx.

Pour obtenir les sommes de deux en deux, nous reprendrons la forn\ule

(jT-i-B -7-1)/' — {X-^B)PtJi:f pxP-^.

CIIAP. XIV. — SOMMATION DKS PlISSANCES M'UKRIQUES. ^43

Si l'on remplacer par ^x, il viral, ou mulliplianl par 'iP.

(x — aB — a)/'— «.r— 2B U'i-Va/^x/»-»

et, par suite,

F(x-T-aB -T-2) — Fiy — 2B)«d^2/(.rV

Remplaçons successivement x par i, 3, 5, ..., « >. j- — O: en ajoutant les égalités obtenues, il vient

y( l) -f-/(3)-f-/(5)H-. . .-r-f{lX— \)^{F{1X -r- '2 B -1- V) — ^F(2B H- I :

On a de même

/(0)-+-/(2)-H/(4)-T-...-r-A2J'-9.)%A,-J.F(.2X-4-2B)-.iF(2B^.

Par le même procédé, on trouvera les sommes de 3 en 3

de r en r, . . ., et Ton généralisera la formule ( i '.

137. Extension de la méthode de Fermât. - Soit f{x) un polynôme en X de degré n. la formule d'interpolation de Newtok conduit à Tidentité

On développe ainsi y (j:) en une somme alj;ébrique de factorielles; si l'on remplace x par des nombres en progression arithmétique de raison A, on trouve par Tapplication de la formule qui donne la sommation des factorielles (n® 37) la somme des valeurs que prend le polynôme fix) pour des valeurs de x en pro grcssion arithmétique.

Mais le résultat est lui-mêine un polynôme de degré (// 4- i) développé en une somme algébrique de factorielles, et Ton peut bii appliquer la formule fondamentale iiidicpiée par Fermât; par conséquent, on pourra trouver, d'une manière simple et générale, la valeur de l'expression

pour des valeurs de x égales aux termes successifs d'une progression arithmétique .

244 LIVnB II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

Soit, en particulier,

on a

(i) ar» = 0? Ao" H ^^ A«o'»-i ^: ^A'o"

par suite, en désignant par S„ la somme des puissances /i^^"" des {^x — i) premiers nombres entiers, on a

x{t — i^ x(t — OCa- — 9.)., „

S„ = -— ^ Ao" H A« o«

Cette formule montre que S/, est un polynôme en x de degré (/H-i), divisible par x{x — i), et dont le premier coefficient

est (n** 133). La formule (2) n'est qu'une transformation

d'une propriété d'un tableau de sommes (n® 75).

D'ailleurs , si l'on prend le coefficient de x dans le développement de la formule qui précède , on exprime les nombres de Bernoulli en fonction des différences de x"^ pour x = o', on a ainsi

Ao'»

n-hi

Exemple /. — Soit à calculer 83. On forme le Tableau

et l'on a

, xix — î) xix — \Mx — 2)^ x(t — fV.r — 2)('.r — 3). S, = 1 -; :^ 6 H rr-: 6.

En simplifiant, on retrouve le résultat connu. Cette méthode parait moins simple dés l'abord; mais elle est la plus commode, lorsque l'on veut obtenir les sommes successives.

GIIAP. XIV. — SOMMATION DES PUISSANCES NUMÉBIQUES. ^45

Exemple II, — Trouver la somme

i{ar — i)5-h2(ar— a)'-l-3(a? — 3)»H- ... -4- (a^ — 2)2» H- (a? — i) i».