Sommations saooessives des puissanoes. — Posons

Si,„(a?) = i'»H-2'»-h3«-i- ... -4-a?'»,

en désignant par n un entier nul ou positif ; posons ensuite

Sj,«(ar) = Si,„(i)-l-S,,,i(2)-f- ... H-Si,„(ar),

et, en général,

S;H-i,w(a?) = Sp,rt(i) -+• Sp,„(2) -h . . . -+- Sp,„(ar);

les sommes S|,„, 82,/!, ... correspondent aux sommations successives.

Nous supposerons Sq,© -~- ' î ondi d'ailleurs, par la sommation des factorielles (n° 37),

xix-Jfi) ... (x-^ p — \)

Nous allons calculer S2,/ï; pour cela, considérons le Tableau

en faisant la somme par colonnes, on obtient pour la somme des termes de la colonne de rang p

(x — p-{-i)p^ ou (a? -4-1 )/>'» — />""•-*; donc, en faisant le total de toutes les colonnes, on a

( « > ^t,n = (x-hl) Si,„ — S,,„+l.

Sous forme symbolique, la formule précédente peut s'écrire

S,,«^Sï(ir-M — S|).

'^jG MVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

On lrou\o. par induction, la formule générale

<■>') S;,^i,„(./-.«^ -, Sï[j- — I — S,][x-f-2 — Si] ... fj--+-/? — Si],

([ue Ton vérifie a posteriori en observant que, si Ton remplace x

par ix -r » )• le premier membre augmente de

et le second devient

-iy Sï[j'-^2— S,|[x^ 3-S,|... [x-T-/>-^-i — S,J.

et, par conséquent, auj^mentr dt*

- ]z • ^ï[-^-+-''-5il[j^-+-3-S,J .... [^-r-y>-S,l :

c'(»sl précisémeni ce que devienl le second membre de la f(»rmule (2), quand on y remplace p par (/> — 1 ) et J? par (x h- i ^

Exemple I. — Calculer les valeurs de Sj,,, pour /i — 1 , 2, 3, 4- On trouve successivement

Sî,i - \ .r(.r -i- I »( r-. 2),

Sî,; ~ iV Ji-f^ -:- 1}- 'r — 2),

Sj,3 -^ -6Va^(.r- -nia^-f- 2) ( jt^ -r- Ox h- 3),

Sî,4 -- io ^(J' r n- <.r - 2) (2j:* -t- 4*^ — i^-

Pour plus de détails, voir nos articles du' Messenger of Mathematics, intitulés : On the Development of l 1 -z) '" a Séries et On the successive S animations (Cambridge, 18 7-).

139. Extension de la méthode indienne. - Considérons la suite de X quantités

^l 1 ^2 1 ^3 ) . ■ . . Un • .... Ux I

formons une Table de multiplication en écrivant successivement les uns au-dessous des autres les produits des termes de cette suite par ceux de la suite

la somme des termes de la Table sera égale au produit des sommes Vx et \x des termes des deux suites. D'autre part, en ne prenant que les/? premiers termes du Tableau qui se trouvent dans la ligne de rang/? et les (p — ^) premiers dans la colonne de rang/?, on a pour leur somme

UpMp -f- Vp\}p — UpVp;

par suite, en faisant la somme \] de ces expressions de /? = i à p z:^ X, on a

(l) U jV.r —^ ( UpMp -f- Vp\}p) -h 2 UpVp = o.

Considérons, de même, une troisième suite de quantités

IVi, «>, , fV3, ..., Wp, ..., Wx,

et plaçons les unes au-dessous des autres les Tables obtenues en multipliant tous les termes de la première Table successivement par tous les termes de la troisième suite ; nous formons ainsi une Table de multiplication à trois entrées, et Me compartiment de coordonnées p, q^ r contiendra le produit UpVqWr* Cela posé, considérons successivement les cubes ayant à partir de l'origine 1, 2, 3, ...,/? unités de côtés, et clierclions la somme des termes qu'il faut ajouter au cube de rang (p — i) pour obtenir le cube de rang/?. Nous trouvons facilement

Mais la somme des termes de la Table est égale au produit U.rVxWj; des sommes des trois suites ; on a donc l'identité

UxV;rW;^ -^{UpWpV^p -+- S^p^pl^p -^ WplipWp)

^(M/>i'/»Wp-+- VpWpHp -^ ^pUp\p)—^^ UpVpWp = 0.

Dans le cas où les trois séries sont identiques, on a

Par induction, on obtient une formule générale, qui s'applique à un nombre quelconque n de suites, dans laquelle on aperçoit les coefGcients du développement de (i — x)"^

(3) U« — Ci SMpUJ-» -+- C* Sa» Uj»-» - . . . -i- ( - i)" X aj = o.

Exemple I. — Si Ton fait Up = i dans la formule précédente, et si Ton remplace x par {x — i), on obtient la formule équivalente au développement de

cette formule coïncide avec la formule (2) du n*^ i32. Exemple II. — Si Ton suppose, dans la formule (i).

Up = Vp =p(p -+- 1) . . . (/> H- ^ — 1), on a, par la sommation des factorielles,

lî p(p-^^) .,,(p-^q)

Vp = — ;

et, par suite,

Jt=X

{ip^q^ i)ul = — ^j ^-^ .

Exemple III , — Si, dans la même formule, on suppose

on obtient les relations

> ^^ il- aP — a

-^ PiP-^^) x-^i

£n particulier, on fera dans ces formules a égal à |^, j ou 2.

140. Développement du produit S^Sn en fonction linéaire des sommes S. — Dans les formules de ce numéro, S^ désigne d'abord la somme des puissances d'exposant n des x premiers nombres, et l'on suppose Bj = +^; d'ailleurs les formules obtenues ne contiendront pas B|, de telle sorte que les formules auront

CIIAP. XIV. — SOMUATION DES PUISSANCES NUMÉRIQUES. 249

lieu, quelle que soit la valeur de x. Faisons, dans la formule (i) du numéro précédent,

il vient la formule symbolique

(0 S^wSa-t-S^j+ntAjS"* ^^ -^— — h S" -——

Nous avons ainsi exprimé S^ S/, en fonction linéaire des sommes S (n® 102), et l'on voit que Bj n'entre pas dans cette formule. En supposant m = n^ on a

(2) — - — SJ = 811,4-1 -+■ CJ+, BsSsD-i H- CJ+iB4S,„3 -+-...

Exemple I. — En supposant n égal à i ,2, 3,4 . . . . , on trouve successivement

Inversement, on obtient les formules

287 = 485 — 38|-i-Sî,

28o=58î-^85--VSî-VSî,

Exemple IL — Il résulte immédiatement de la formule de Bernoulli (n** 134) que les rapports

ont respectivement pour valeurs

B/, et — - — Bsp-s,

pour X = o. 8i Ton introduit ces résultats dans toutes les formules qui

!i5o LIVRK II. — Li:S NOMBRKS RiTIONNKI.S.

contiennent S, on obtient des formules correspondantes pour les nombres bernoulliens. En particulier, la formule ( 1 1 donne

B,;,+„«di-B'" ^- B« ,

/t -h I ni-r- \

en supposant Bj - o. On ne réduit pas les B avec les B'; mais, après le développement du second membre, on remplace les exposants de B et de B' par des indices. Pour /n - i et /i = (ay? — i), on a

{xp — i)Bj;,-^ (B -T- B')»A'cj\eo.

Cette formule donne une relation du second degré entre les nombres de Bkrnoulli. Elle a été publiée, sans la forme symbolique, par M. Woron- TzoFP, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (t. XV, janvier 1876), et par M. Le Paige, AdiUsXcs Bulletins de l'Académie de Belgique (t. XLf, mai 1876).

Exemple III, — Au moyen de la formule (2), on peut exprimer le pro- <Iuit S/;,SnS|, en fonction linéaire des sommes S. On a ainsi, en particulier,

4(SiV= 385^83, I2(8j)^ — 1680 — 58^-4- 85.

Voir dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (2* série, t. X)un article de M. Amigues.

141. Somme alternée des puissances des nombres entiers. — Si Ton désigne par x un nombre pair, on a les formules

Multiplions par iP tous les termes de la seconde égalité, retranchons ensuite de la première, et posons

(i) iP-^ — 2/»-*-+- 3p-» — . . . -^ (J7 — \)P-'^ = 2p-i,

avec

(2) 2(1 - 2/')B;, = Gp;

il vient la formule symbolique

(3) 2/>X/,i^( iK^j'-f-G)/'— Gp.

Ainsi, comme dans le développement de Sp i, les coefficients du

CHAI». XIV. - SOMMATION DES PLISSA.NCES MMÉUIQUE8. 'ASi

(léveloppeincnt de Sy,i sont ceux du binôme multipliés respectivement par les nombres G, qui se déduisent des nombres bernoullicns par la formule (2), ou plus généralement par la formule

On a, pour les premières valeurs de p.

Go = o, Gi — -:-i, Gj = — I, Gv =-i-iî

Gr.-= — 3, G8 = -i-i7, G,o = — i55, G„ = 4-2073,

et G2/Ï+I iist nul, de même que Boyi+i- Ces nombres ont été considérés par EuLER et plus particulièrement par Genocchi (*).

Si, dans la formule (3), on remplace x par (x -!-•>.), on obtient par différence

cette idcnlité, qui s\')pplique pour toutes les valeurs paires et positives de x, est vérifiée pour une valeur quelconque entière ou fractionnaire, positive ou négative. Donc, en désignant par/(j:) un polynôme quelconque, on a V identité fondamentale pour le calcul des nombres de Genocchi

/(j--f-G-f--.<)--/(;r .(y)<J^ — x[f'(.r-^\) -f'\J')V Avec la notation des différences et des différentielles, on a

puis, pour le cas de deux variables,

l^f(.r-\-Cj, K^G')-!^!'— 9.)2A» ----- .

•^ " OxOy

en supposant Ar, \y égaux à 2 dans le premier membre de ces égalités. vX égaux à I dans le second membre. Cette relation s'étend à un nombre quelconque de variables.

142. Nombres de Genocchi. — Nous avons trouvé au n" 135 (formule G), la relation

( ') Annales de Tortolini, t. Ilf. Rome, i852.

)5a LITBC II. — LES XOKBBCS •\TIOXXCL5

ni;iifK. d*autre jvirU nous avons

fmr suite, eo r^lnnchiinl membn? à membre.

En tecint compte de la définition de< nombres G. ^^clbm le Buméfv» pWcédent. on a donc

^* G — : — f G Tïtj*" Ea rorlirolier» poar / x = j-*el^/' x =i x — [ «"r*. cIvicBl.

G»— G — : '^-ir •.

p«:ar t« = it ]> : . Li roraiitle pr«i;deaûe ieTOn:

G» G — : * *Ar j-

■rar les gi: nr rces G s*:at ail-s» •r-raui'^ !•*< aoaiic^îs EL 30 or t ïmoair ■it ^^ :. Cette S^rsoli* iiaiiraîr»; Lmurriiieawa: îik iry 't^infUiriss

issei leaiiiie

Ea -aosanc * s = s^. ^r

r "'trîîC

LZLir. - -nue les uir'imicss .-r *-c.î .t.-^t

Exemple /. — Calculer les sommes Sp pour /> = o, i. 2, 3, \, On trouve

2 2,= ( — i)'(a?«— a?), 8 S, =. { — 1)^(4378 — 4a?«-h J ) - I , £4= S,(rF«— ar — i).

liS. Somme des puissances des nombres impairs. — Si Ton désigne par T^ Texpression

(1) Tp = i/'4-3/'-t-...-t-(2a? — i)/', on a, pour le nombre impair de rang x^

(2a:— i)/'=(2j:)/'— CJi('2a7)P-i-hGJ('2a?)/'-2-+- ...-f-(— i)p;

remplaçons successivement x par i, 2, 3, ..., j:, et faisons la somme des égalités obtenues, il vient, en supposant ici que S^ désigne la somme des puissances d'exposant p des x premiers nombres, l'égalité symbolique

(2) Tp^{^^ — i)p\

par suite, les symboles ï et (2 S — i) et, plus généralement, quelle que soit la valeur de l'indéterminée \j les symboles (ï + î^) el (2S — I -h )v) sont équivalents dans les formules; on peut donc remplacer S par ^(T-i-i) dans les formules qui contiennent S. Ainsi, par exemple, on a la formule

M) / T-+-2.)-/(T)cd^/(v..r--i)-/j).

On obtient la somme des puissances semblables T^ des nombres impairs par un polynôme développé suivant les puissances ascendantes de x^ au moyen de la remarque suivante, qui était connue des algébristes arabes ( ' ) : La somme des puissances p^^'^*^^ des ix premiers nombres entiers égale la somme des puissances p^^"^^^

('} Lacroix, dans son Traité de Calcul diffcrenticl, etc., attribue cette proposition à Lorgna (a* édition, t. III, p. 415 et 759). On trouve la somme des cubes des nombres impairs dans un ouvrage d'iBX Almadjdi. Voir les Annales de Torto- Uni ( t. VI, p. 289).

231 LIVRE II. -- I.EtS NOMBRES RATIONNELS.

de.s X premiers nombres impairs, au ^^me niée du produit par 2^ de la somme des mêmes puissances des x premiers entiers. On a donc

par conséquent, si l'on pose

on a, pour T;,,, le dévelo|)pemenl

Si Ton remplace x par {x -r- i ) dans la formule Ci) el si Ton prend la différence, on obtient Tidentitr

(•2J: -r- X H- R;/'— ( 'ix — R )i*^ p{ ix — i »/' > :

par suite, en remplaçant {'\x -^ i) |>ar >-, il vienl

{y -^ R -i- i;/'— {y -+- R — \)i'*é^p yt"^ : d\>ii Ton déduit la relation plus générale

et, (Ml |)articulier, pour )• rrrr o.

( r> I /', Il i I ) — /( R - - 1 ) «d^ /*'( o 1 1 • I.

Getle formule est r identité /onda mentale pour le calcul direct des coefficients K, que Ton peut aussi déduire des nombres bernouUiens. Les premiùres valeurs de R sont, avec K2//J i = o,

- ' Il ' R r K - 3'

Rh---:^' Rio- --,;,.-

^ ') Si l'on remplace successiveineiU, dans la iorinulc (0), le polynôme /( x) par

on obtient les développements

- ..: «^c'R', - coséc5*=^cosR*,

convorponts pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z, dont le module

CSl ^«.^ •..

Voir Skuukt. TniiU' de TriL;onométrie, 5* édition, p. jG3 et 3i ».

ClIAP. XIV. — SOMMATION DES PUISSANCES NUMÉRIQUES. ^55

Exemple /. — Calculer les soniiries T^, des puissances des x premiers nombres impairs, jusqu'à /> = 8.

Si l'on pose y =■ ^x^^ on trouve pour les exposants impairs

Ti - x^,

T,^\x^(y^-5jr-h7)>

et pour les exposants pairs

7T6=Tî(37î — i8^-f-3i), Exemple If. — Démontrer la formule

(R-r l)(R-+- 3)...(R-+-2J» —i)<i^ — ^ ii\p\

Exemple III, — Exprimer T,, en fonction du dernier terme (2a? — \)= z.

On trouve

•2/> T;,, cdi=> ( ;5 -+- 2 B )/' — 2 R/\

Exemple IV, — Développer le produit T,«T,j en fonction linéaire des sommes T.

Si l'on fait Up={'ip — i)'" et p,, = (2/? — i)" dans la formule (i) du

n* 139, il vient, en supposant B^ =H — >

et, en particulier, pour m = /«,

Si l'on fait z = (227—1) = o, l'expression 2/1X^-1 devient égale à G„ ei Ton obtient alors une relation entre les nombres B et G, car les R disparaissent.

14>4. Sommation alternée des puissances des nombres impairs.— Reprenons l'identité du n° 142

(37-T- G -h i)"-f-(a?-+- G)«<d^2/ia7'»-* ;

a56 LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

remplaçons xp^r^Xj il vient

par suite, en désignant par /{x) un polvnôme entier, et par F(x) le polynôme intégral, on a

( I) J/(a?)«dieF(2r-f-2G-f-2)-i- F(x-:-2G);

remplaçons successivement x par i , 3, 5, ,, ,.(2X — i ), et faisons la somme alternée des égalités obtenues, il vienl

i /lM-/«3)-/(5)-...-( i)'/(2ar-i)

145. Nombres d*Euler (*). — Nous appellerons ainsi les nombres définis par la formule de récurrence

pour toutes les valeurs entières et positives de />, avec la condition Eû= I , de telle sorte que, pour /> = o, on doit remplacer le second membre o de la formule précédente par 2. Si Ion désigne par/(a:) une fonction entière quelconque, on a donc Videntîié fondamentale

par exemple, poui- /{x) ^= {x — \)p{x + i)^, il vient (3) E/'(E -h 2)7-T- E7(K — 2 }i' ^1-» 9.(— I )/'.

( )n a, pour les premières valeurs de rindice,

Eo = -r-i, £2 = — i, E4 = H-5, Ec-- — (>i.

E8 = -f-i385, Ejo = — 5o52i, Eu = -i- 270276 j, ...,

d^ailleurs, la formule (1) montre immédiatement que E2//4.i = o, et que les nombres eulériens d'indice pair sont entiers et impairs.

(•) Sylvester, Comptes rendus de L'Académie des Sciences (Paris, l. \XV,

OtIAP. XIV. — SOMMATION DES PUISSANCES NUMÉRIQUES. 237

La formule (2) peut se généraliser ainsi (n** 121) (.1) /(a7-hE-t-i)-T-/(^H-E-j)çA.u/(:r);

remplaçons successivement x par les nombres impairs i , 3, 3, . . ., {^ix — i), et faisons la somme alternée des égalités obtenues, il vient

. ,^^ ( /(O -/(3) H-/(5) -...-(- xYf{o.x - I)

\ ^ -i/(E) - i(- xYf{iXr^ E).

Exemple I, — Trouver la somme alternée des puissances semblables (les X premiers nombres impairs.

En posant

0;, = 1/^—3/' -T-^A»—... -^(— i)-r-i(2a: — i)P, on a, en faisant /( a: j = xi* dans la formule (5),

'iOp <dî=» E/* — (— \Y{'ix -h E)A'.

On trouve ainsi, pour les indices impairs, en posant^ = ajr,

09 = e, (x»— JG^» 4- 63o7*— 51-247» -4- 12465).

Exemple II. — Démontrer que le quotient de 63 par Bj n'est jamais un carré parfait, et que le quotient de 0$ par 0| est un carré parfait et n'est jamais un bicarré.

L'étude de la Table des carres montre que la différence de deux carrés n'est égale à 3 que pour (2' — i*) et à 5 que pour {V- — 2*), et puisque l'on a

le théorème est démontré, car on suppose x entier et positif.

146. Relations entre les nombres d'Euler et les nombres de Bemoulli. — En comparant les deux dernières formules des numéros précédents, dont les premiers membres sont identiques, on en déduit la relation générale

/(2G-hi)-i!-2/'(E), E. L. — I. 17

et, avffc une variable arbitraire (n" 121),

On a ainsi une première relation générale entre les nombres d'EiLER et ceux de Gekocchi. En particulier, pour /(g) = s*", on a la formule

puis, pour z-= — I , il vient

et, pour ^ = o,

2/wE'"— * <d^(7.G -^ i)'" ;

ces deux formules ont été obtenues par Scherk (*), mais sans l'emploi du calcul symbolique. Elles expriment les nombres de Genocchi en fonction des nombres d'EiLER, et inversement.