Formules deCesàro. — Considérons une suite de nombres

tels que la somme des nombres à égale distance des extrêmes soit constante et égale à X'^ désignons par S^ la somme de leurs puissances d'exposant/?,

Sp = flr J H- a^' -r aÇ -h . . . -r- ag ;

par hypothèse, nous pouvons encore écrire

mais si /• représente l'un des nombres o, i , 2, . . . , n, on a par la formule du binôme

(jF — «;.)/'= xP— Cj,xP-^ar-h Cj,xP-^a^-h. . .-^i— ar)P\

remplaçons successivement r par o, 1, 2, ..., /?, et faisons la somme des égalités obtenues, nous trouvons la formule symbolique

(') SoHEiiK, Mathematische Abhandlungen (Berlin, i825).

CHAP. XIV. — SOMMATION DES PUISSANCES NUMÉRIQUES. l5\)

en tenant compte de l'exposant zéro de S. Plus généralement, si l'on désigne par^Q') un polynôme entier, on a l'identité

Supposons, par exemple, /(j^) = j'/'(i — y)f, il vient

(3) SP(x^Sy/^S'r(x^S)P et, pour q :=( p '\- i), on a

(4) S/'(x-S)/'(jr-2S)«=i!b?o.

En faisant/? = i , a, 3, 4? on trouve successivement

o = -r*S| — 3^ Sj— - 'X S3,

o = j:5Ss- /iJ^'SjH- 5^784 — 9. S5,

o — .r58v— Gj-^Sj-f- \^x^ 85 — 10^^*87 -^ <)J788 — -iS»,

Ces formules ne déterminent les sommes S que pour les indices impairs de S, puisque les termes a sont en nombre quelconque et ne sont assujettis qu'aux conditions énoncées plus haut. Mais ces formules s'appliquent évidemment aux sommes S des puissances semblables des x premiers nombres entiers, des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique et à beaucoup d'autres suites.

118. Suites de Cesàro. - - Nous désignerons, sous ce nom, toute suite de nombres

(1) Ao, Ai, Aj, ..., A„, ...,

tels que l'on a pour tout nombre /i, entier et positif, la relation symbolique fondamentale

En supposant Ao -- i, on a A| = ^; mais A^ n'est pas déterminé par l'équation précédente qui ne détermine les nombres A que pour les indices pairs, lorsque l'on connaît les nombres qui correspondent aux indices impairs, ou inversement.

'xCyJl livre II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

Les formulas pivoédcnu-s pernicliont «le simplifîer notablement la théoriiî «les cicveloppeinents en séries des fonctions circulaires et des fonctioDS exponentielles. lin supposant le module de 5 plus petit que ^77, oq a les séries converj;entes

•xz

faAj /'^■-,

tJVj /»*'-

- «d^ e^' , ^- roi - <J^ cos B 5 ,

- coséc -3 «J^ cos R^ ,

- lanj; ^ «-!^cosG5, séc z*i^ cos ILs.

On en dé«liiil les valeurs des séries