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On peul éten<lre les formules du lexie pour les développements de Sp, T,„ Ip. H,„ lorsque l'on suppose/» positif ou néjialif, entier ou fractionnaire; mais les tlé>eloi)pemeul'i sont illimités e*i conduisent au\ définitions des n<unbres H. H. G, l*-. d'indice né«;atif ou fractionnaire. En particulier, pour /» — — 1, on a la formule de Stirllng et la constante

tlKlLER.

Les développements des puissances <y'""** Jos séries mis sous les formes evponeutîelle'i symboliques

conduisent aux définitions «les nomlires lî, K. G. E des divers ordres.

Voir, pour plus de détails, nos articles du Huiit'tin tle la Société ma-thématique \, W M. MI. Mil..

t\ceniplc I. --- litudijr. comme au 11' ||9, les propriétés des polynômes

f>t'm/'/c* //. — Vppli'jiicr les formules tic* t\n:rn/tl^s /et //du n* i'd5 au\ noml>re> K. G. b^.

ClIAP. XIV. — SOMMATION DES PUISSANCES NUMÉRIQUES. 2l63

Exemple III. — Donner, pour les sommes alternées, trois formules analogues à la formule (i) du n^ 136.

Exemple IV, — Appliquer les théories et les formules du n** 138 à la sommation successive pour les sommes T, £, 9.

Exemple V. — Développer, comme au n** 140, les produits

en fonction linéaire des sommes T, 2, 0. Exemple VI, — Démontrer la formule

/(E-f-2)-/(E-2)çi5-2/(l)-2/(-l),

et en déduire, |)our le calcul rapide des nombres d'ËULER, les formules données par M. Radicke,

E'« ( E -4- 4 )« — E« ( E — 4 )"« <=ii=» 2 ( — I )'« ( S" — 3"» )» et

j h^m -\ 3 — -2*0 *, Etm-i H 3 — a^C,i E^^^^ -r- ...=(- 3)'" ;

le dernier terme du premier membre est i^^^Em ou (m h- 2)2"*-'E,rt+i, suivant que m est pair ou impair.

Exemple VII, — Démontrer la formule

dans laquelle on remplace les puissances de A par les différences correspondantes de x"^ pour x — o.

Exemple VIII. — Démontrer que si f{x) désigne un polynôme quelconque, on a les formules

hf\x)^ gBA/(-«>HA) gB/i/u-)^

hf'ix)^ gl^/t-r-f-A) gRA/(x-A)

'xhf'(x) <d^ eGA/(ar-KA) ^ ç^hj^x) ^ 2f{x)<i^ gEA/(jr-+^) ^ gEA/(x-/i)

en remplaçant, après le développement exponentiel du second membre, les exposants de B, R, G, E par des indices, et les exposants de /(a?) de /{x -r- h) et dc/(ar — h) par des indices de dérivation. La première et la troisième des formules précédentes correspondent à des développements qui ont été donnés par Euler, par Stirling et i>ar Boole.

•/f>: LIVBE II. — LES TCOHBBES B4TiOK9CLS.