CHAPITRE XV

LES FONCTION^ SYMÉTRIOIES.

150. Fonctkms symétriques fondjumentales. — On appelle fonction symétrique de plusieurs quantités luule fonclion qui ne change pas. quand on échange de toutes les manières possibles les quantités qu'elle renferme. Ainsi le produit

est une fonction svmélrique des n quantités a.b^c. -..,/, qneile que soit la valeur de y. En développant le produit, on trouve

en écrivant, suivant Fusage,

/>i=2a, p^=Zabf pi= Zabc, pn= abc /.

Les coefGcients pt, fit p^^ ...,p„ sont des fonctions syniétri(|nes des n quantités; ce sont, en effet, les fonctions svmétriques les plus simples, puisque chaque quantité n'y figure qu'au premier degré; nous les appellerons yb/îc//o/î5 symétriques fondamentales. Lorsque toutes les quantités sont égales, on retrouve pour/(j:) le développement du binôme (j" — a)"; d'ailleurs, la fonction symétrique fondamentale pq contient les combinaisons C2 des // lettres prises 7 à </.

La théorie des fonctions symétriques a pour objet principal d'exprimer toutes les fonctions symétriques par les fonctions symétriques fondamentales et, inversement, d'exprimer toute fonction dc/?i, px^P^i ' ' "> Pni au moyen des quantités a, 0, c^ ...,/.

151. Formules de Ne-wton. — Ces formules ont pour objet d'exprimer les sommes des puissances de même exposant des