CHAPITRE XV. — LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES. ïG

qiiantilos a^ù^c, . . . , / par les fonctions svmélriqiics fondamentales. Soit

on a ridentilé (n" IH)

mais, en se reportant à l'expression du quotient de f{jc) |)ar (x — a) donnée au n** 7î2, et en faisant la somme des quotients, on trouve par l'identification

j O — 5i — /?!, I O = f 2 —piSi -4- 2/n, (I) '0 = 53 — /?i5, -^PiSi — i/>j,

La première de ces formules fait connaître .V|, la deuxième ^2, la troisième 53, et ainsi de suite jusqu'à 5„|. On trouve ainsi

; si = Pij si-=p\ — '>.pt,

*3 ^/?î— '>/'î/'î-+- ''>p\Pz-^ 3/>,/?|— 5/>i/>i--5/?,y>3-+-5/>5,

Pour obtenir les sommes des puissances dont Texposant surpasse (// — i), on remarque que x^ f{x) s'annule pour r/, />, Cy . . ,, ly et, par suite, (ju'il en est de même de la somme de ces quantités. On a donc la fornïule générale symbolique

dans laquelle y désigne un nombre entier positif, nul ou négatif. En supposant <jr = 1 , a, 3, . . . , on calculera successivement s,ij Sfi^i^ «Sw+2^ • • • î en supposant rjr r= — 1, — 2, — 3, - . . , on calculera successivement Sqj .v i, .v 2, . . . ; on a d'ailleurs So= n. Inversement, on peut calculer les fonctions symétriques fondainentales/>i,y>2î Pn^ • • • ,/>«, lors([ue l'on connaît â'i, a*2, -Va, . • . , s,,.

On a

il Pi

2lpt=zsl— 5„

Zl Pi = s\ — 3*i5j-+- 253, (3) ^ /^\p^—g\ Qs}S2-r- SSiS^-r- 3*1 —05^,

Exemple I. — On a la formule

(2:a«-hSa^»)î=Sa»(Sa)î-T-(2a6)*.

Exemple II. — La somme des produits q b q des n quantités

a pour expression

giq*-i)

Exemple III, — Soient des nombres positifs a, 6, c, ...,/, en nombre p ; désignons par A, G, H les moyennes arithmétique, géométrique, harmonique de leurs puissances d'exposant p; si les nombres donnés ne sont pas tous égaux, on a les inégalités (ordre alphabétique)

A > G > il.

En effet, par définition,

aP-^bP-^ cP-^... ~ iP A — ,

P G — abc. . ./,

H aP bP cP iP

Nous démontrerons d'abord que Ton a A>G; en effet, supposons la proposition vérifiée pour (/? — i) nombres; nous allons démontrer qu'elle a lieu encore pour/) nombres. On a évidemment

(aP-i — bP-^) (a — b)%o; d'où l'on déduit

aP -r- bP i aP-i b - bP-^ a.

Ajoutons membre à membre toutes les inégalités que l'on peut former

CUAPITRE XV. — LES FONCTIONS STIIÉTRIQV ES. 'A6y

en prenant toutes les combinaisons deux à deux des/? nombres, nous obtenons

(/> — I) Sa/' > a(bP-^-^cP-^ -¥-.., -r- //»-« ),

-f- b ( aP-^ -r- cP-^ - T- . . . -T- //'- » ),

Mais, par liypotbèse,

6/'-*-f-c/'-»-T-...-T-//'-» > (/? — i)^c... /, a/»- »-t-c/' -»-+-... -4- /P-» > (p — i)ac... /,

par conséquent,

(/> — i) Sa^ '>p(p — 0 ^^c. . . /,

et, par suite, A > G.

En appliquant le résultat précédent aux inverses des nombres a, b. c, ...,/, on trouve ainsi G > H.

Exemple IV. - L'expression

S;, = (a -h ^> )« -r- ( — rt )« -4- (— 6)«

est divisible par

lorsque n est un nombre impair non divisible par 3, et par q^ lorsque n = 6/n -f-i. (Caiciiy.)

En effet, on peut considérer S^ comme la somme des puissances d'cxjiosant n des trois quantités (a -\- b)^{ — a), i — 6), dont les fonctions symétriques fondamentales sont

o, — <7, r — ab(a -^ b).

On a donc, sous forme symbolique, la loi de récurrence

on en déduit

et, par le développement,

S,-: (3r2— <îr3)S3=3rS6-r-r».

Cette formule permet de calculer les sommes S pour les indices de trois en trois. En élevant les deux membres au carré, on en déduit la relation récurrente symbolique

cette formule permet de calculer les sommes S pour les indices croissants de six en six, et de vérifier le théorème énoncé.

Exemple V. — Pour n impair et multiple de 3, l'expression

(a-T- 6)«— a'»— ô"— 3(a^>) « («-h^») est divisible par a*-^ ab"^ -^ b^. (CArcHY.)

152. Démonstration figurée. — Considérons des pions disposés sur n lignes -> et contenant respectivement ^r, b^Cjd^ ... pions ; ainsi (Jig- 7^) nous avons, par exemple, a = 5, t=4> c=.2,

Fig. 73.

rf=(5, <? = 3. Soit q un nombre entier |)Ositif, quelconque, et considérons tous les arrangements complets de q pions, à la condition de prendre tous les pions dans une môme ligne; [aligne a renferme a^ arrangements complets ; la ligne b en renferme t^, et ainsi des autres; de telle sorte que le tableau renferme

Sy = a'/ -f- ^7 -H c7 -h . . . H- /'/

arrangements complets. D'autre part, considérons toutes les combinaisons simples de tous les pions, en nombre S| , mais en prenant q pions de telle sorte qu'il n'en soit pris qu'un seul par ligne; [)uisqu'on peut choisir entre r/, b^ r, . . . pions, dans chaque ligne respective, il est clair que le nombre de ces combinaisons est égal à la fonction symétrique fondamentale

Ptf ^~^ ^^n CtUC . • • .

Nous allons calculer S^ en fonction de Sç,, S^2» Pour

former les arrangements complets S^, nous prenons d'abord tous les arrangements complets {q — 1) à (^q — i), en nombre Sç i,