CHAPITRE XV. -- LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

et nous ajoutons un quelconque des S| =/>i pions. Nous formons ainsi

dispositions; mais nous avons compté en trop les arrangements dans lesquels le pion ajouté appartient à une ligne diflerenle de l'arrangement Sy i. Mais pour former les arrangements complets contenant (q — i) pions dans une ligne et un dans une autre, on peut partir de tous les arrangements complets Sy 2> les systèmes des deux lignes occupées par les pions sont en nombre /?2, et l'on a ainsi /?2Sy 2 dispositions; on aurait donc

Pi Sy -I — Pi Sy J .

Mais, parmi les dernières dispositions, on a compté en trop celles ([ui contiennent (q — 2) pions dans une ligne et deux pions dans deux autres lignes diilerentes; on a donc

et ainsi de suite. Enfin, les dernières dispositions obtenues, en nombre /?ç i S|, ne sont pas précisément celles que l'on devait obtenir; nous avons compté en trop toutes les dispositions de q éléments, pris sur q lignes différentes, en nombre pq ; de plus, toutes ces combinaisons ont été comptées q fois, car pour les obtenir nous avons pris une combinaison de (q — i) pions, et nous en avons ajouté un autre. On a donc la formule générale (*)

^q Pl^q-l -+-Pi^f/-i —Pz^f/-3 -H . . . Z'Z />,,, Si Z^p,,,q =0.

Cette formule renferme toutes les formules de Newto:x, car on peut supposer q'^ n, et alors /?y = o.

153. Fonctions Sjrmétriques doubles , triples. — Nous venons d'indiquer la méthode de calcul des fonctions symétriques simples, c'est-à-dire des fonctions dontchaquetermenecontientqu'uneseule quantité ; on appelle fonctions symétriques doubles, triples, . . . celles dont chaque terme contient deux, trois, . . . lettres.

(• ) Mantkl, Sur les combinaisons d'éléments disperses dans un plan (Congres de Rouen, i883). — Voir aussi le n^Sl.

Si l'on suppose a ^ ^, on a

le nombre des termes de S est le nombre AJ des arrangements simples de /i objets pris deux à deux. Mais, si Ton suppose a = p, on a

et le nombre des termes de 2 est la moitié de A^,. Si l'on suppose a, p, y inégaux deux à deux, on a

le nombre des termes de la fonction symétrique triple est égal au nombre A J des arrangements simples de n objets pris trois à trois. Mais si deux exposants deviennent égaux, on doit diviser le second membre par 2 ! et si les trois exposants deviennent égaux, on doit diviser par 3!

On peut calculer ainsi successivement les fonctions multiples Sa*6P.../^; le nombre des termes de cette fonction est égal au nombre des permutations avec répétition des exposants a, p, y, — , À, entiers, positifs ou nuls.

Lorsque tous les exposants des lettres de la fonction sj-métrique sont égaux, le calcul se simplifîe, puisque cela revient à remplacer les quantités a, b, c, ..., / par ^^z*, 6*, c", ..., /*; par suite, les formules (3) du n** loi donnent

2Î2(a6)« = 5Î-5ja, 3! I.(abc)^ = 5j — 35a5ja-r- 253»,

154. Rangement et nombre des termes d'une fonction S3nnétrique entière. — Considérons une fonction entière et symétrique F des lettres a, 6, c, ...,/; désignons par a le plus grand exposant. A cause de la symétrie, la fonction F contient a* et si nous mettons 'a^ en facteur dans tous les termes qui le contiennent, on a