CHAPITRE XV. - LES FONCTIONS SYMETRIQUES

et F| est une fonction symétrique des (n — i) lettres 6, c, . . . , /. Désignons par ^ le plus grand exposant dans F^, il est au plus égal à a, et l'on peut poser

F,=--6PFj-+-...,

Fa <Hant une fonction symétrique des (n — 2) lettres c, rf, ...,/. Et ainsi de suite, de telle sorte que le premier terme de F est

A désignant une constante et a, [3, v, . .. , X des nombres positifs non croissants, les derniers pouvant être nuls. Si Ton désigne par G la fonction symétrique formée en permutant tous les exposants du terme précédent, la différence (F — G) sera une fonction symétrique dont on déterminera de même le premier terme

A| désignant une constante et a|, pi, "^'i, ..., Ai des entiers non croissants, positifs ou nuls, c'est-à-dire tels que les différences

ne soient pas négatives. Et ainsi de suite.

D'ailleurs le nombre des termes de la fonction symétrique générale et homogène de degré ijl est égal au nombre des termes du développement de

c'est-à-dire à D-J ; si la fonction n'est pas homogène, le nombre des termes est égal à DJJ^^^ (voir le n** 80).

15o. Méthode de Waring. - On a

Pi^ Sa, Pi—- I.nh, /?3- Zabc,

Pn — abc. . . /; élevons les deux membres de ces égalités aux puissances d'exposants

27a LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

multiplions membre ù membre, et par A. I^e produîl

est une fonction symétrique que nous désignerons par W et dont le premier terme est égal au premier terme de F. Le calcul de F est ainsi ramené au calcul de la fonction symétrique (F — W) que Ton range suivant Tordre indiqué; on opère sur (F — W), comme sur F, et Ton trouve une nouvelle fonction W| égale à

on opère de même sur (F — W — ^V|), et ainsi de suite. Finalement on a

et la fonction F se trouve exprimée en fonction des coefficients p par un nombre d'opérations qui ne surpasse pas le nombre des termes de la fonction symétrique générale.

Par suite, on a ce théorème important : Toute fonction symétrique entière et à coefficients entiers de n quantités a^ b^c /

s'exprime par une fonction entière, à coefficients entiers, des fonctions svmétri(|ues fondamentales.