CHAPITRE XV. ~ LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

multipliant Texposant de chaque lettre par son indice; ainsi le poids du terme (i) est

i(a — P)-H 2O — Y. )-+-... -*-{/i — i)(>t—X)-i-nX,

c'est-à-dire

a-+-P-+-Y-r-...-+-x-+-X= jjt.

Par suite, toute fonction symétrique et homogène de degré y. de n quantités «, 6, c, •.., /est une fonction entière de degré a par rapport à /?|, /?2i /?3, . . . , Pn^ et dont tous les termes sont du même poids |jt. On peut vérifier directement ce théorème en observant que, si Ton multiplie toutes les quantités données par un même nombre quelconque /, la fonction symétrique homogène se trouve multipliée par tv- et les fonctions symétriques fondamentales Pi , />2, />3, .^.^pn sont respectivement multipliées par /, /*,

ATaidc des deux principes précédents, on peut écrire immédiatement la partie littérale d'une fonction symétrique, et il ne reste à déterminer que les coefficients. Ainsi la fonction

est de degré a et de poids 4 î P»r conséquent, les seuls termes qu'elle peut contenir sont p^^ p^pi, pi.

Exemple I, — Calculer Texpression de 2a'^*c. On trouve

Exemple II, — On a les formules

S a^b'^(a — by = Sg^Srj^^^— 5*^,,

Exemple IIL — Calculer les valeurs des fonctions symétriques Sa*^*, I.a'^b^c^,

En désignant par \i. le nombre des carrés contenus dans chaque terme, on a, pour I.^, l'expression

157. Formules de Waring. — On peut calculer directement 5^ au moyen des fonctions symétriques fondamentales par une formule E. L. - I. i8

27i LIVRE II. — LBS NOMBRES RATIONNELS.

de Waring. On peut démontrer de diverses manières (*) que 5^ est le produit de a par le coefficient de x~^ dans le développement de l'expression

on supposant

•2 i OL

Par suite, on a

(,) ,, ^ 2 « — TTi-xT! XTTTJ-!— /'i'^'V • • • ^>'

et le signe S s'étend à toutes les valeurs entières, positives ou nulles, des A qui vérifient la relation

Xi -h 2Xj-f-. . .-i- rXr= a.

Inversement, on peut calculer les fonctions symétriques fondamentales/? i,y?2,/>3, ...,/>,,, au moyen des sommes â*i, ^2) <^si •••? *« > on df'montre que ( — 0*/^a ^^^ ^*o^' ^" coefficient de x^ dans le développement de Fcxpression

en supposant

/ix"

{*) La méthode la plus rapide, qui ne peut trouver sa place dans le texte, rep(»sc sur l'identité

si l'on prend les logarithmes des deux membres, on en déduit l'identité QçAei- 4- i? 4-...+ -'\ -h...«=^-log(i-U);

ri si Ton développe le second membre en série, il suffit d'égaler les coefficients do.r ».

Inversement, on a l'identité symbolique

I — R«d^e Q, qui donne les formules suivantes.