CHAPITRE XV. — LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

par suite, on a

et le signe S s'étend à toutes les valeurs entières, positives ou nulles, des \ qui vérifient la relation

Xi-h 'iXj-T-, . .-H /•Xr= a.

Exemple I, — En particulier, les fonctions symétriques de deux quantités a et b. pour lesquelles

a -h b r= p, ab—q, a"-r~ b'*= s„j

sont données par la formule

Sn=p"- 7-,/>"-'^y -+- — —,^ />'*-* <7

n(rf r - 1)( n— r — 2). . .( /i -- ar — 1) . -î-l — !)'• j pn-^fqf-^-

Si l'on remplace a par x, b par x~^, p par^ et q par i, on exprime X;,= a7'*-f- JT-" en fonction dcv—x-hx-^.

Exemple IL — En reprenant les notations de l'Exemple IV (n'^lM), on a encore la formule

(a -i- by^— a«- b^ = /iqr\ q^-^ ,— /y»-*

(/i — 4X71 — 5) , , -+-- Vp ^qn-ir^....

Exemple III. — Avec les mêmes notations, la première formule de Waring montre que Sy^ est le produit de a par le coefficient de a7-«dans le développement de l'expression

R» Rï R«

t*n supposant on a donc

52„— in y- .qn-i'r -^^ n -- i

52/n-i=( in -r-l)

r/l-3/ — 1 fS/'+l

pour toutes les valeurs entières «le 1 non négatives, pour lesquelles les exposants de ^ et de r ne sont pas négatifs.

On en déduit immédiatement, en posant

r — ab(a -4- ^), que si

5,1 n'est divisible ni par y, ni par r;

s„ est divisible par ^*r;

» •> <7» et non par r;

1» n n^j » M " rj

» » qr,