CHAPITRE XVI. -- LES DÉTERMINANTS. u

11 résulte encore du développement de la fonction alternée V «pie celle-ci se trouve multipliée par A, lorscpi'on remplace rï, h ou c par a A, b\ ca; par suite, on multiplie ou l'on di\nse un déterminant par X, en multipliant ou en divisant tous les éléments d'une rangée par X, De là ce corollaire :

Un déterminant est nul lorsque les éléments d'une même ran- ;sée sont proportionnels aux éléments d'une rangée parallèle.

Knfin, on remarquera que si Ton a

ap = «/', bp — bP, Cp — c/\ . . . , Ip— II*

pour toutes les valeurs o, i , 2, . . . , (/? — 1) de /;, le déterminant I) est identique à la fonction alternée fondamentale.

163. DéTeloppement du déterminant. — Le déterminant I) est une fonction linéaire et homoji^éne des n quantités

f/0« fi\i ^2f • • • ) ^/i 1»

el Ton peut poser

m) = do A 0 -r- ^/ 1 A 1 -:- rt 2 A 2 - . . ' -r- (tfl 1 A /i - I ,

en désignant par

des quantités qui ne contiennent aucun des éléments a, 11 est facile de déterminer le coefficient Ao de «o, puisqu'il correspond à rensemhle des termes indépendants de a dans le développement de la fonction V, c'est-à-dire au produit de bcd. . ./ par la fonction alternée fondamentale des lettres b, c, d, .»., /, en ayant soin de remplacer ensuite les exposants par des indices. On a donc

. '^2 Cz ... /*

i tffi — i Cfi—\ ... f/i—l i

Ainsi le coefficient de a^ dans le déterminant D est égal au tléterininant obtenu en supprimant la ligne et la colonne qui contiennent a». On peut obtenir de même le coefficient d'un élément

quelconque, dans le développement du déterminant D, suivant tous les éléments d'une môme rangée 5 il est égal au délermînant ± D', obtenu en supprimant dans le déterminant D la ligne et la colonne qui contiennent cet élément. En effet, sans changer la valeur absolue de D, on peut amener la ligne qui contient l'élément considéré à la place de la ligne supérieure par des échanges consécutifs de deux lignes; on peut ensuite amener la colonne qui contient réiément considéré, à la place de la premic^re colonne à gauche, par des échanges consécutifs de colonnes. Alors l'élément considéré occupe la place de a^^ et, si Ton supprime la première ligne et la première colonne du déterminant transformé, on obtient le déterminant D'.

Pour déterminer le signe, il suffit d'observer que D a changé autant de fois de signe qu'il y a d'unités, moins deux, dans la somme des rangs de la ligne et de la colonne qui contiennent l'élément considéré. Si l'on suppose les éléments du déterminant placés sur les cases d'un échiquier à deux couleurs alternées, comme l'échiquier ordinaire, on prendra le signe -f- , ou le signe — , suivant que l'élément a^ et l'élément considéré seront placés sur des cases de même couleur, ou sur des cases de couleurs différentes.

Le coefficient d'un élément, pris avec son signe, s'appelle le /wmewr correspondant du premier ordre; on le désigne par une grande lettre. Par suite, un déterminant est égal à la somme des produits obtenus en multipliant tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne par les mineurs correspondants.

Ainsi, pour le déterminant D du troisième ordre

ai ùx Cl «1 bi Ci (1:1 (fz C3

on a les six développements

D = ai Aj-i- aj A2-4- «3.-^3, D=^ 6, Bi-i-ôîBj-i-ôjBa, D = Cl Cl -+- C2 Cj -I- C3 C3,

D = ^1 Ai-+- 6iBi-i- ciCi, D = «î A2 -f- ^2 B2 -\- Cl Cj, D = as A3 -h 63 B3 I- C3 C3.

16 i. Calcul des déterminants. — Si tous les éléments d'une rangée d'un déterminant sont nuls, à l'exception d'un seul, le