CHAPITRE XVI. — LES DÉTERMINANTS

calcul de D se réduit à celui d'un déterminant ayant une ligne et une colonne en moins.

Si tous les éléments d'une rangée se décomposent en la somme de deux autres, le déterminant se décompose en une somme de deux déterminants.

Un déterminant ne change pas de valeur si l'on ajoute à tous les éléments d'une même rangée ceux d'une autre rangée parallèle multipliés par un même nombre.

Si p lignes ou p colonnes d'un déterminant deviennent identiques pour X = rt, le déterminant est divisible par {^x — a)P~^ .

Exemple /. — On a

lA (C-l-rt)2 6«

— labcia -T- 6 -h c)'.

Exemple IL — Le déterminant

{x -^ laY ix-r-'2.by {x-h'icY

{x -r- a'f ix-T-b)^ (x-T- c)^

est égal au produit de

par

Zx^{b — a){c — a){c — b).

{a-\-b -^ c')4:*-h Z{bc -r- ca ~ ab)x ->r Oabc.

Exemple III. — On a

= a*a2-i- b^^{i^--c^^;^—ibc^-^( — ica^x — ^aboi^i.

Exemple IV, — On a

= a7M-(a2-i- 62 -i- cî -h a2 -h ^s-i-Y*;j:'»-l-(aa-h6,3-+- 07)^

Exemple V, — Le déterminant

(SVLVESTER.)

est indépendant de x^y, z.

Exemple VI. — Le déterminant «i n lignes

|JL JA C X JJL [l [l d

dans lequel tous les éléments d'un même côté de la diagonale sont égaux, a pour expression

X — |JL

si l'on pose

Pour |JL = X, il se réduit à

(->)"[/(>■) -va)]-

Exemple VII. — Calculer le déterminant

Ap.=

dans lequel AJ5 désigne le nombre des arrangements simples de p objets pris q 'd q (n** 45).

Exemple VIII. — Si l'on désigne par a, b, c, . . ., / dos quantités quelconques en nombre /i, par s leur somme, et par A, H, C, ..., L les excès de cette somme sur les quantités données, le déterminant