XXVI INTRODUCTION

lique principale des Arabes d'Orient el d'Occident, jusqu'au XVI* siècle, fût consacrée à Tétude de ces figures et à leur classification.

Nous présenterons ici quelques développements sur des théories qui paraissent étrangères à notre sujet, afin de montrer l'extrême importance de Tidenlilé de Platon et, par suite, même en ce cas particulier, le rôle universel de l'Arithmétique. Si Ton pose

o s lanc - = ^9. r

on a, comme Ton sait,

r* — s* . 2 rs •} rs

;.5 ^ gi . fi J gi

coso= r .» sino — — - — -» tans: 9= - .?

on peut donc exprimer toutes les lignes trigonométriques d'un arc 'f et de tous ses multiples par des fonctions rationnelles de la tangente du demî-arc, c'est-à-dire de r et de s. Et ainsi toute la Trigonométrie rectiligne n'est que le développement de calculs qui reposent sur cette identité. — On la retrouve continuellement dans la théorie analytique des sections coniques, pour les équations

- - -h *\^ = I , x* 4-^' = c'y*» «a^*-T- ^^'*h- cc*= o,

soit que l'on rapporte ces courbes à deux systèmes de diamètres conjugués, soit à un foyer, soit à un triangle autopolaire. Par suite encore, cette identité se reproduit constamment dans les théories des cônes du second ordre et des coniques sphériques.

L'identité de Platon généralisée conduit à la formule

celle-ci permet de résoudre le problème de trouver des triangles rectangles numériques dont l'hypoténuse est égale au produit des hypoténuses de deux autres; elle est due aux géomètres

INTRODUCTION. XXVIl

indiens et se trouve dans le Liber quadralorum de Fibo^acci {y'io'i). En supposant r= Tf et 5 = ^1, on retombe sur l'idenlité précédente. Cette formule exprime que le produit d'une somme de deux carrés par une somme de deux carrés est égale à une somme de deux carrés; on dit encore que le module du produit de deux nombres imaginaires est égal au produit des modules. On démontre que tontes les solutions entières de Téquation indéterminée

sont données par la formule

z — {r -\- si)" ^r= X -^ yi ( moil t* -i- i) ,

et ainsi la théorie des nombres imaginaires, la formule de MoivRE, etc., découlent encore de Tidentité de Platon. Celle-ci permet encore de faire disparaître l'irrationnalité apparente de

nombreusesformules contenant le radical \X' -\-y'^\ pour faire disparaître le radical on exprime x et y en fonction rationnelle do r et de 5, par l'équation précédente. Plus généralement, on peut remplacer l'expression (^^-f-j^-) placée sous le radical, par une forme quadratique binaire quelconque {^ajc- + 'ibxy -\- cy^). Ces transformations importantes trouvent continuellement leur emploi dans la théorie des équations, dans celle des courbes algébriques et dans le Calcul intégral. Lorsque la quantit<> placée sous le signe d'intégration est une fonction rationnelle de la variable x et des

radicaux yjx — a^ \/x — 6, ou encore une fonction rationnelle de

la variable x et du radical ^ a -\- bx -\- ex- ^ on ramène le problème, par l'identité de Platon, à Tinlégration d'une fonction rationnelle d'une autre variable. Il en est de même lorsque le signe d'intégration renferme une fonction rationnelle des lignes trigonométriques des multiples et des sous -multiples de la variable.

« Li^ Arithmétique de Diophante, qui est entièrement consacrée aux problèmes indéterminés, contient un grand nombre de