CHAPITRE XVI. -- LKS DETERMINANTS

a pour expression x{x — *)""*, et le déterminant obtenu on remplaçant €iy bj Cy . . . , / par A, B, C, . . . . L a pour expression

[x- in-- 'i.)s]{^x — sy^-K Exemple IX. — Le déterminant

a, — bi

ai bn

ai bi

rtj - bi

a:^ — bi

an- bi an-bi

est identiquement nul.

Exemple X, — Le déterminant obtenu en remplaçant les éléments du déterminant précédent par leurs inverses est égal au produit des diiïérenées mutuelles des nombres <?, multiplié par le produit des différences mutuelles des nombres b et divisé [)ar le produit de toutes les différences telles que {ar—bg ). ( Gauciiv . )

165. Éléments à deux indices. — Au lieu de désigner les rlrments d'un déterminant par des lettres différentes (n** 162), on peut se servir d'une seule lettres avec deux indices, en représentant par a^ le terme placé dans la ligne -> de rang x et dans la colonne \ de rang r.

a\ ai

Un terme quelconque du déterminant est donné par

ta\}al*a^^^

lesnoml)res j:,,:r,,X3, ..., .r,, représentent une permutation (|uelconque des /? premiers nombres, et les nombres j',, l'i,, j':i, — Vu représentent une permutation quelconque des n premiers nom-

bres; de plus, le coefficient e est égal à -f- i ouà — i suivant que les permutations

Xi Xf Xi ... Xn

yi ji yz . . . r«

appartiennent à la même classe ou à des classes difTérentes.

On obtient tous les termes du déterminant, en nombre /i!, en laissant invariables tous les indices inférieurs x et en permutant de toutes les manières les indices supérieurs^', ou encore en laissant invariables les indices supérieurs y^ et en permutant de toutes les manières les indices inférieurs x.

Si l'on change les signes de tous les éléments situés dans les colonnes de rang pair, puis si Ton change les signes de tous les éléments situés dans les lignes de rang pair, la valeur du déterminant reste la même, mais tous les éléments dont la somme des indices est impaire se trouvent, en signe contraire, dans le nouveau déterminant.

Désignons le déterminant des /i- éléments a par

A = 2dza}a| ...«2

et par A* le coefficient de <7* dans le développement de A, suivant les éléments delà /•"■■"' ligne ou de la 5"'"** colonne; le mineur du premier ordre, obtenu en supprimant la ligne et la colonne correspondantes, a pour expression ( — 1)'^* A', et les sommes

a/. Aj -+- aJ-AJ -h. . .-f- a'JlA?, «5 Aï -ha5Af-h...H-c/-^A;;,

sont égales à A, ou à zéro, suivant que r et s sont égaux ou iné-

gaux

Si l'on désigne par A, B, P trois déterminants de degré /?, formés avec des éléments quelconques a, b^pj à deux indices, le dé-

terminant de degré 'in

• Pi