AB

bl

Ajoutons aux éléments de la première colonne les cléments des n dernières, multipliés respectivcmcnl par

ajoutons aux éléments de la seconde colonne les éléments des n dernières, multipliés respectivement par

et ainsi de suite jusqu'à la ^i^'™*^ colonne. Posons, de plus,

c\ = a), h] -h n\h\ H- . . . -H «Jî 6?, le déterminant AB devient

xfl

Par suite, d'après la valeur du déterminant C, considéré dans le numéro précédent , on a

AB = Z±c\clcl...cZ.

C'est dans cette dernière égalité que consiste la règle de multiplication par lignes. En changeant, dans l'un ou l'autre des deux déterminants A et B, les colonnes en lignes ou les lignes en colonnes, on obtient quatre manières de faire la multiplication.

Plus généralement, si Ton considère deux systèmes A et B de qn quantités ael bk deux indices, renfermés dans deux rectangles de q lignes et de n colonnes, et si l'on détermine c* comme ci-dessus, le déterminant des n^ quantités

cl I

est nul pour n> q] pour n = y, on a C = AB, et pour n <C q, le déterminant C est égal à la somme des produits des déterminants formés en prenant les q colonnes de A et les q colonnes correspondantes de B; le nombre de ces produits est égal au nombre des combinaisons simples de n objets pris q k q. (Ze théorème fondamental, donné par Binet et par Cauchy, est la généralisation de résultats qui avaient été obtenus par Lagrange et par Galss.

Exemple I. — Déterminant symétrique. — C'est un déterminant dans lequel les éléments de la diagonale principale sont quelconques, les élt'ments placés symétriquement par rapport à cette diagonale étant égaux.

Les mineurs qui correspondent à deux éléments symétriques sont égaux.

Le carré d'un déterminant est un déterminant symétrique.

Carre du déterminant de Vandermonde. — Si Ton pose

Sf. = a^-h ^'•-h C'-h

on a

Si

Sfl-l

Si 5,

St S3 Sj S;

5/t i . . Sfi