ÉQUATIONS DU PREICIER DEGRÉ

167. Formules de Cramer. — Résolution de deux équations du premier degré à deux inconnues. — Système de trois équations à trois inconnues, de quatre équations à quatre inconnues.

Un système de n équations du premier degré à n inconnues,

ff^ Lnftl II. — LIS ?COaBftES KiTIOXXELS.

dont le délenDÎDaDl des coefficients des inconnaes n^esl pas nul, admet une solution et n'en admet qu'une seule. Chacune des inconnues e^t égale à une fraction avant pour dénominateur commnn le déterminant des coefficients et pour numérateur le déterminant obtenu en remplaçant dans le dénominateur la colonne des coefficients de Tinconnue considérée par les seconds membres des

équations.

Pour démontrer ce théorème important, on range les équations de telle sorte que le mineur obtenu en supprimant la première ligne et la première colonne du déterminant ne soit pas nul, et Ton fait voir que le système a une solution unique, en supposant le théorème vérifié pour un système de (n — i ) équations à ^/i — 1^ inconnues. D'ailleurs, pour chaque colonne du déterminant, il existe un mineur du premier ordre qui n*est pas nul ; par conséquent, les inconnues se présentent toutes sous la forme de Ceamee, sans qu'il soit nécessaire de vérifier a posieriori Ve^SLCtitude du résultat, ainsi que Gauss le pensait.

Exemple 1. — Deux marchands de vins entrent dans Paris, Tun avec 6| barriques et l'autre avec ao barriques du même prix. Mais, comoie ils n*ont pas assez d'argent pour acquitter les droits d'entrée, le premier paye avec 5 barriques et ajoute io''; Tautre acquitte avec a barriques et on lui rend 4o'^ Quels sont les pri\ de la barrique et du droit d'entrée de chacune d*ellcs?

ï>a barrique vaut no'' et le droit d'entrée est de lo''. On doit remarquer que les barriques qui restent à l'octroi ne payent pas l'entrée, et c'est là la curiosité de ce problème que Lk Verrier appelait problème piège.

Exemple IL — Les aiguilles d'une montre sont en coïncidence à midi; à quels instants seront-elles encore en coïncidence ?

Dans l'intervalle de douze heures, il y a onze rencontres se succédant à un onzième d'heure. - Calcul des éclipses. Durée de la rotation du soleil autour de son a\e, etc.

Exemple JJJ. — Les aiguilles d'une montre sont en coïncidence à midi ; à quels instants seront-elles : i° directement opposées; a* perpendiculaires; 3*" à quels instants sont-elles inclinées d'une fraction donnée du cadran?

Exemple IV. — Les aiguilles d'une montre sont en coïncidence à midi, quelles sont leurs positions simultanées pour lesquelles les deu\ aiguilles peuvent être remplacées Tune par l'autre, à un autre instant.

En imaginant une aiguille fictive marchant douze fois plus vite que l'ai-