CHAPITRE XVI. — LES DÉTERMINANTS. tlQj

guille des minutes, les positions demandées se succèdent au\ intervalles des temps de coïncidence de Taiguille des heures et de Taiguille fictivp. Donc, en douze heures, il y a i43 positions des aiguiliesi qui se succèdent à intervalles égaux, en tenant compte des coïncidences. — L'énoncé et la solution de ce problème sont dus à M. Laisânt.

Exemple V, — Un paquebot met à la voile de Douvres avec un vent frais, arrive à Calais en deux heures. Pour retourner, le vent étant contraire, il fait 6 milles de moins à l'heure; mais, à mi-chemin, le vent change de nouveau, le paquebot fait deux milles en plus, à l'heure, et revient à Douvres dans les six septièmes du temps qu'il aurait employé si le vent n'avait pas changé. Trouver la distance de Douvres à Calais et les vitesses différentes du paquebot.

Distance, ssa milles. — Vitesses à l'heure, ii,5 et 7 milles.

Exemple VI. — Deux stations distantes de 4*^" sont reliées par une double ligne de tramways. A chaque station, les voitures partent de trois en trois minutes, et marchent avec la même vitesse sur chaque ligne. Un piéton parcourt uniformément la même ligne; au moment où il part de la première station, il voit une voiture la quitter, une autre y arriver. De même, au moment où il atteint la seconde station, une voiture en part et une autre y arrive. En comptant les voitures avec lesquelles il s'est trouve à l'une et à l'autre station, le piéton en a rencontré 19 allant dans le même sens et 4^ allant en sens contraire. Trouver la vitesse du piéton cl celle des voitures ?

Exemple VII. ■- Résoudre les équations

ar ^ by -{- cz -r-d t = \ ,

— hw - 6f r -h dz — r / = Y ,

— ex - dy -r- a z -\- ht = X,

— dj- -r- cy — b z -^ a t =^ 'ï .

Si Ton forme le carré du déterminant des inconnues, on voit que ce déterminant est le carré de l'expression

On a ensuite

A rr=a^^b^-\-C^^d^,

Sx = a\-b\ -cZ^dT, Aj' = 6 X -h a Y — d'A -:- c T, A;; = cX ^d\ -^aZ — bT, M =d\-c\ -hbZ r-tiT,

et, en ajoutant les carrés (n* 69),

294 LIVRE II. — LES NOMBBES KATIONNELS.

Exemple 17//. — HrsoiidrCf par rapport à -r, j-, z, /, p^ y, r, s, les <'<|uation«

nr-^by—rz- dt- ep-. fq--gr-.-hs=r.\^

— hx -- a y ~ dz— it - fp — eq~'/tr-r-^s^\\

— ex - fi y a z - ht - ffp — hq — er — /* = Z.

— (Ix - cy -- fjz ~ ttt - hp — f^q ' fr — <ri = T, ex — fy - - A' -3 ^ ht - ap -^ hq -r cr -r- ds = P,

— fx - ey hz '^- :^t — hp -^ nq — dr ^ es — Qj

— ^ j* - h y -■- e z — // - t'p -^ dq — ar — b$ •= R,

— hx - firy fz- et - dp — cq -■ hr -r- as ^ S.

lin prenant le carre du déterminant des inconnues, on voit que ce dc- Icrniinant est le bicarré de Texpression

Kn multipliant ensuite les équations par les nombres cr, b, c, d, e, f, /,', hj pris avec des signes c(mvenablcs, on trouve

Ix^aX h\ - cZ-r/T-^P — /Q- A'R — AS, ^y=hX-- a\- dZ- cT — /P-T- eQ-+ /iR-^S, Iz^ c\-;d\ -. aZ- hT- .^P- /iQh ^R--/S, A/ ^ dX— cY-. hZ-r-uT — hP-h/irQ—/R-^ eS, \p ^ eX. /Y-f-.4'Z AT-^ aP- bq— cR^dS, Ay^/X- <?Y- hZ- ,^T- hP-^ aQ-^rfR— cS, A/n-^X-AY- eZ-: /T--cP- dq-{- aR -r^ bS, \s = hX -: f;\-- fZ~ C'Y — dP -\- cQ -^»R^-aS.

Kn ajoutant les carrés, on démontre que

ou, en d'autres termes, que le produit d'une somme de huit carrés par une somme de huit carrés est une somme de huit carrés.

Exemple IA\ — Si la somme des carrés des éléments de chaque ligne d'un déterminant est égale à i, et qu'en outre la somme des produits des éléments correspondants de deux, lignes quelconques soit nulle, les mêmes relations ont lieu entre les éléments des colonnes. — Le déterminant est égal à ±1, chaque mineur est égal, en valeur absolue, à l'élément correspondant. Enfin, si l'on fait pour chaque ligne le produit des éléments, la somme des carrés de ces produits est égale à la somme correspondante pour les colonnes.

Les trois exemples précédents trouvent leur application dans la théorie