CHAPITRE \VI. — LES DÉTERMINANTS

des carrés magiquts, et inversement cette théorie donne lieu à de nombreuses identités.

168. Théorème de M. Rouché (1). — Lorsque le déterminant des coefficients des inconnues est nui, la résolution d'un système linéaire donne lieu à une discussion intéressante qui s'applique à un nombre quelconque p d'équations du premier degré contenant un nombre quelconque q d'inconnues. On forme le Tableau rectangulaire, à p lignes et q colonnes, des coefficients des inconnues, et l'on suppose que l'un au moins des éléments du Tableau n'est pas nul. Alors il existe un déterminant formé avec les coefficients de n lignes et de n colonnes, de telle sorte que ce déterminant de degré n ne soit pas nul, mais tel que tout déterminant de degré {n 4- i), formé avec les éléments du Tableau, soit identiquement nul. D'ailleurs, il peut exister plusieurs déterminants de degré n qui ne soient pas nuls, et Ton peut choisir l'un d'eux, que l'on appelle déterminant principal du système, de telle sorte qu'en modifiant l'ordre des équations et celui des inconnues ce déterminant A soit formé des éléments contenus dans les n premières lignes et les n premières colonnes du Tableau.

On borde ensuite le déterminant A avec une ligne formée par les éléments correspondants d'une autre ligne du Tableau et avec une colonne contenant les termes connus des équations correspondantes. On obtient ainsi des déterminants, de degré (/i-f- i), que l'on appelle déterminants caractéristiques du système linéaire. Cela posé, on a le théorème suivant :

Pour que la résolution d^un système de p équations du premier degré à q inconnues soit possible, il faut et il suffit que tous les déterminants caractéristiques que Von peut déduire du déterminant principal soient nuls. Lorsque ces conditions sont remplies, le système est déterminé ou indéterminé, suivant que le nombre des inconnues égale ou surpasse le degré du déterminant principal.

Il résulte de ce théorème que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un système de n équations à n inconnues admette

(*) E. RoucHÉ, Note sur les équations linéaires {Journal de VÉcole Polytechnique, XLVIII* Cahier; i88o).

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RcvAKr^cc I. — La ihéorie précédenie permet de représenter les réèoluts de» opération? fond^menule* de rAritlunétiqae et de l'AJgèbre sou» la forme de déterminants. En effet, ces opérations déterminent en général. d*ane façon uniqae, par des équations linéaires, les coefGcienU de certains polvnômes. On peut donc mettre sous forme de déterminant la valeur numérique d^un poljn/jme. les coefficients du produit ou du quotient de deox poljn6mesy les coefficients du reste de la division d*nn polynôme par un autre poUnôme. les coefficients de la formule d'interpolation de L%caA5ce. etc.

KEifjiB<;;L'E II. — Les formules concernant les suites récurrentes donnent encore l'expression des inconnues sous forme de déterminant. Ainsi les formules de la théorie des combinaisons, celles du calcul svmbolique, les formules de sommation des puissances numériques, celles qui concernent les nombres de Bek- HouLLi, d'EuLEB, dc Ge50cchi. Ics formulcs de Newtoh sur le calcul des fonctions symétriques, etc., produisent des déterminants. Cependant, il est bon d'obser\'er qu'il ne faut pas abuser de cette forme plus complexe, et surtout lorsque le calcul direct des inconnues est plus rapide que celui que Ton peut obtenir par le développement des déterminants qui leur correspondent.

Exemple I. — Résoudre les équations

a-^ix

Exemple II. — Résoudre les équations

x-\' j-f- z -^ t = eo,

ax-¥- by-{-cz -+- dt = ei,

a^x H- b^y -h c'^z -h d^t = ej,

a^x H- b^y ^ c^z -^ d}t = ei.