CHAPITRE XVI. — LES DÉTERMINANTS
Exemple III, — Trouver, par la théorie des déterminants et par le binôme de Leirniz, la formule qui donne la dérivée d'ordre n d'Une fraction {u\v).
169. Équations linéaires et homogènes. — Lorsque les termes qui ne contiennent pas les inconnues sont tous nuls, tous les déterminants caractéristiques sont nuls, puisqu'ils renferment une colonne de zéros; par conséquent, tout système d'équations linéaires et homogènes admet toujours une solution, celle dans laquelle toutes les inconnues sont nulles. Mais on dit que le système des équations est compatible, lorsqu'il admet une solution dans laquelle l'une, au moins, des inconnues n'est pas nulle; alors on a deux cas à distinguer, suivant que le degré du déterlninant principal est égal au nombre des inconnues, ou se trouve plus petit. Lorsque le degré du déterminant principal est égal au nombre des inconnues, le système n'admet que des valeurs nulles pour les inconnues. Mais, si le nombre des inconnues surpasse, de A* unités, le degré du déterminant principal, on peut donner à k des inconnues des valeurs arbitraires et, par suite, différentes de zéro.
Ainsi, pour qu^un système linéaire et homogène soit compatible, il faut et il suffit que le degré du déterminant principal soit plus petit que le nombre des inconnues.
En particulier, pour qu'un système de n équations homogènes à n inconnues soit nul, il faut et il suffit que le déterminant des coefficients des inconnues soit nul.
On en déduit diverses propriétés des déterminants identiquement nuls.
Pour qu'un déterminant soit nul, il faut et il suffit qu'il existe entre les éléments des rangées une même relation linéaire et homogène.
Dans un déterminant nul, les mineurs des éléments de deu\ rangées parallèles sont proportionnels.
170. Formes linéaires et homogènes. — Pour qu'une forme linéaire et homogène soit nulle, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables, il faut et il suffit que tous ses coefficients soient nuls.
On dit que des formes linéaires sont indépendantes lorsqu'elles
peuvent prendre des valeurs données arbitrairement pour certaines valeurs des variables.
Le nombre des formes homogènes et indépendantes de /i variables ne peut surpasser le nombre n des variables.
Pour que/? formes homogènes à /{ variables soient indépendantes, il faut et il sufOt que le déterminant des coefficients des variables ne soit pas nul.
Pourquc p formes à (/) -h 7) variables soient indépendantes, il faut el il suffit que Ton puisse former avec le Tableau des coefficients des variables un déterminant de degré p qui ne soil pas nul.
