LES SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES

171. Des suites récurrentes proprement dites. — On appelle ainsi une suite de nombres

..., M-3, W-î, W-I7 Wo, Wi, Mj, 1/3, ...,

lels qu'il existe une mémo relation linéaire homogène, à coef^ Jicients constants, entre p nombres consécutifs. En d^aulres termes, on a dans toute Tétendue de la suite

OU, SOUS la forme symbolique,

/{li) désignant un polynôme de degré n dont les coefficients extrêmes ne sont pas nuls, el p un entier quelconque. Le polynôme

s^appelle V échelle de récurrence.

Pour une même échelle, il existe une infinité de suites; mais toute suite est déterminée, et peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens, lorsque Ton connaît n termes consécutifs et les coefficients de Téchelle. Il résulte immédiatement de là que l'échelle d'une série récurrente ne change pas lorsque Ton augmente d'un même nombre tous les indices des termes et que deux suites de même échelle de degré n sont identiques, si n termes consécutifs sont égaux chacun à chacun.

Lorsque n termes consécutifs d'une suite sont nuls, tous les termes sont nuls; ainsi, une suite illimitée de zéros forme une suite récurrente d'échelle quelconque. Inversement, lorsqu'une

3oO LIVIC II. — LIS NOMBIIS ■ATI07INBLS.

suite récurrente contient n termes consécutifs égaux à zéro, le degré de son échelle surpasse n.

La suite récurrente du premier degré est donnée par Téchelle

cVst une progression gèomt'truiue de raison a, et un terme quelconque a pour expression

Si Téchellc est

chaque terme est la moyenne arithmétique des deux termes qui le comprennent et la suite est une progression arithmétique de raison quelconque. En général, si 9(jr) désigne un poljnôme de degré n et si le terme général d*une suite est

on a une suite récurrente avant pour échelle le développement de

{Il — i)'*«di=»o,

comme cela résulte immédiatement du calcul des différences (no 76).

Les suites récurrentes ont été étudiées par Cassim, Moivre. Eller, Lagrakc:e et par D. Akdré ('). Nous avons donné, dans les Chapitres qui précèdent, quelques exemples de suites récurrentes linéaires, dont les coefficients n'étaient pas constants. Mais, dans ce qui va suivre, nous supposerons les coefficients constants.

172. Propriétés des suites récurrentes. — i"* Si l*on multiplie tous les termes d'une suite récurrente par un même nombre, on obtient une suite récurrente de même échelle.

2° Si l'on renverse le sens du numérotage des termes d'une

(*) Cassim, Histoire de l'Académie royale des Sciences, p. Sog. Paris, i68o. Moivre, Miscellanea analytica, p. 27. — Euler, Introductio in Analysin, t. I. — Laoranqb, Œuvres complètes, t. I,IIIctV.— D. André, Annales de V École Normale supérieure, 3* série, t. VU; Paris, 1878.