CHAPITRE XVII. — LES SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES. 3ol
suite, on obtient une nouvelle suite dont réchelle s'obtient en remplaçant dans la première u par //"*.
3® Si l'on multiplie tous les termes d'une suite récurrente par les termes successifs d'une proj^çression géométrique de raison X, on obtient une suite récurrente de même degré dont Téchelle se déduit de la première en rem|)laçant // par u I X. On peut simplifier le calcul des suites récurrentes en supposant que le premier ou le dernier coefficient de Téchelle est égal à Tunité.
4" Si l'on multiplie les termes correspondants Up, Vp^ iVp, . . . de plusieurs suites récurrentes de même échelle par des constantes A, B, C, . . . , la somme
A Up -r- ïi Vp H- ( i iVp -1- . . .
forme une suite récurrente de même échelle. En |)articulier, toute fonction linéaire et homogène d*un nombre <|uelconque de termes d'une suite récurrente est une suite de même échelle.
5® Il résulte des deux propriétés précédentes que, si l'on multiplie le terme général Up d'une suite récurrente par a/'©(a), en désignant par oÇk) un polynôme en \ de degré quelconque, on obtient une suite dont l'échelle se déduit de la première en remplaçant u par u \\.
&* On peut multiplier, et non dUnser, l'échelle de récurrence f{u) par un polynôme quelconque ♦}('/)• Kn effet, soit
on a. pour toute valeur entière de p^
et, par suite,
A !//'♦-'• f{u)<éào, Bw/Mr-iy, ,/)çA-.o,
en ajoutant les égalités précédentes, il vient
a^^(M)/(a)«di=»o.
Ainsi les différents termes de la suite de Fibokacci, d'ordre
Zorl LlVfti: II. — LES NOMBBES B \TIO?l?CELS.
quelconque < n*^ 6). qui vérilieiit la relation
vérifient la relation suivante, obtenue en multipliant les deu\ membres de l'égalité 5\-mboIique précédente par (u — i)
en d'autres ternies
Plus généralement, décomposons l'échelle en deux parties, et supposons que Ion ait. <le diverses manières.
/i(u)^Oi(u), /,jM)«d^ç,(iiK
mais de telle sorte qu'en faisant passer les termes du second membre dans le premier on retrouve /(i/); on aura, en désignant par W un polynôme quelconque à plusieurs variables, l'identité
^*(/i./î»/i ) '^ ^*( ?iî ?î- ?J '•
On obtient ainsi des relations, en nombre indéfini, entre les termes d'une suite récurrente quelconque (*).
173. Fonctions récurrentes fondamentales. — Parmi les suites récurrentes d'échelle donnée /(w), de degré /?, il j a lieu de considérer plus particulièrement celles pour lesquelles les n valeurs initiales sont toutes nulles, à l'exception de Tune d'elles, supposée égale à i ; nous les appellerons les fonctions récurrentes fondamentales. Désignons par £ l'un des nombres entiers
par j un entier quelconque et par L,\ le terme d'indice j de la fonction fondamentale pour laquelle on suppose
Lj = I et L/ = o.
( • ) Voir nos Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et Sur diverses questions d'Arithmétique supérieure; p. 33-42. — Rome, 1877.
