CHAPITRE XVII. — LES SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES. 3o

pour toutes les valeurs dey, de o à (// — i), à l'exception de /. Un terme quelconque Uj d'une suite récurrente de réchelle donnée, dont les valeurs initiales son!

Wo» W|, //j, . . ., W/t-i,

s'exprime en fonction linéaire et homogène des n fonctions fondamentales d'indice y, par la formule

( l) Uj*:^ Uq Uq 4- Ui L^, H- Ui 1/ ... -h Ua-i ^/i-i .

analogue à la formule d'interpolation de Lagaan(;e (n*' lOo). Kii effet, les conditions initiales se trouvent vérifiées d'après la définition même des fonctions fondamentales; de plus, uj vérifie la loi de récurrence, puisque c'est une fonction linéaire et homogène de fonctions qui subissent la même loi.

On peut encore exprimer un lerme uj d'une suite récurrente quelconque du //'•■"»« ordre, en fonction linéaire et homogène de // termes consécutifs d'une seule fonction fondamentale et ainsi, par exemple, de la fonction L„,, <pie nous désignerons, pour simplifier, par U. Soit l'échelle de récurrence

posons

/, — 1/, -piUo* fi— Ui — piUi-r-piUo.

de telle sorte que /j s'annule pour j "^ n. On a la formule suivante, analogue à la formule d'interpolation de Newton (n** 108),

( 2 ) Uj^ f^ \jj^n-\ -i-/l Uy+/,-s -\-ft lJy-i-/i-3 -f- . . . -+- fn-\ ^j-

En effet, cette formule est vérifiée par les conditions initiales, ainsi qu'on le voit en remplaçant j par l'un des nombres de o à (/i — i), et en calculant les coefficients des valeurs initiales u^, Wi? •••? '^/î-iî de plus, elle est soumise à la loi de récurrence, comme fonction linéaire et homogène de suites assujetties à la même loi.

3o\ LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

174. Théorème de Lagrange. — Lorsque Téchelle est le produit de n facteurs linéaires donnés et que l^on a

en désignant par a, b, c, .. .^ l des quantités inégales deux à deux, on peut exprimer un terme quelconque uj d'une suite récurrente en fonction linéaire des puissances de même exposant de aj b^ c, /, par la formule

(i) uj-- \aJ-^ nùJ-¥-CcJ-r .,.-t- LU.

En effet, les coefficients A, B, C, ..., L se déterminent au moyen des n valeurs initiales et consécutives

Uq, Mi, {/], . . . , Mit— 1)

par n étpia lions du premier degré obtenues en remplaçant y par o, 1,2,..., (n — i), dans la formule (i). Le déterminant des inconnues n'est pas nul, puisqu'il est égal à la fonction alternée fondamentale de Vandermonde.

Mais nous ferons observer que la formule précédente, qui représente le théorème de Lagrange, est illusoire dans le cas général, puisque l'on ne connaît presque jamais la décomposition de l'échelle en facteurs linéaires, ou que lorsque cette décomposition est obtenue, les quantités a, 6, c, . . ., / n'étant connues qu'avec une certaine approximation, on ne peut en déduire des résultats exacts. Il est donc préférable de se servir des deux formules du numéro précédent et d'étudier les diverses formes de développement que l'on peut donner à Uy lorsque y est donné avec les coefGcients de l'échelle.

Dans le cas général où les facteurs linéaires de l'échelle sont tous distincts, on peut aussi exprimer une suite récurrente quelconque en valeur linéaire et homogène de n termes consécutifs de

la suite

sj = aJ -^ bJ -^ cJ -\-. . . - //,

en posant

(2) Uj= T.Sj'^- ?5y+|H- Y5y>lH-... X5y4-«-l.

On détermine les coefficients a, p, y, . . ., X, au moyen des va-