CHAPITRE XVII. — LES SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES. 3o

leurs initiales Uqj </i, u^^ . . ., Un-f, par des équations linéaires et homogènes dont le déterminant est égal au discriminant de/(u)^ c'est-à-dire au carré de la fonction alternée fondamentale (n° 166, Ex. 7).

175. Récurrence des fonctions alternées. — Considérons le déterminant du /i'*"« ordre

dans lequel nous supposons que <p, y,, ^, . . . désignent des polynômes quelconques ; le déterminant Q est une fonction alternée des n quantités a, b^ c, , . ., /. Désignons encore par

l'échelle de récurrence et par Qy le déterminant obtenu en remplaçant les éléments d'une ligne quelconque de Q par aJ\ bJ, . . ., /À Lorsque y varie, le déterminant Qy forme une suite récurrente de l'échelle donnée, puisque c'est une fonction linéaire et homogène des mêmes puissances des n quantités a^ b, c^ . . ., /; il en est de même du quotient de Qy par le déterminant de Vandermonde. Cela posé, remplaçons le déterminant Q par le déterminant ^ de Vandermonde; désignons par les grandes lettres A/, B/, C/, . . . les mineurs qui correspondent aux éléments a', b^, c'\ ... du déterminant V, et par V^ le quotient par V du déterminant obtenu en remplaçant, dans le déterminant V, les éléments «', 6', c', . . . par aJ\ bJy cJ\ . . .; le développement du déterminant donne

Mais V^ s'annule pour toutes les valeurs dey, de oà(w — i), à l'exception de J = i ] dans ce dernier cas, VJ est égal à i . Par suite, V^ est identique avec la fonction récurrente fondamentale L{ de rang (/"-+- i ).

Par conséquent, toute fonction récurrente fondamentale est le quotient par le déterminant V de Vandermonde du déterminant E. L. — I. 20

3oG LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

oblenu en remplaçant une ligne de V par aJ^ bJ^ cJ, ... ; c'est une

fonction symétrique de a, b, c,

En particulier, la fonclion Uy, de rang /i, est donnée par l'expression