LES FONCTIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDRE

177. Définition des fonctions Un et Vn- — Nous appelons /o/iciion numérique du second ordre toute fonction j'« d'un nombre entier /i, positif ou négatif, qui est déterminée par deux valeurs initiales j^o et ^'i, et par réchellc de récurrence du second degré

dans laquelle/? et q désignent deux nombres entiers, positifs ou négatifs, dont le produit n'est pas nul.

La fonction fondamentale Un est donnée par les conditions initiales

et la fonction primordiale V„ est donnée par les conditions initiales

on a donc, par définition,

On voit tout de suite, par le calcul des U et des V pour les premières valeurs de /?, que l'on a les relations

La fonction générale j^„ s'exprime au moyen des valeurs initiales yo cl yt et des fonctions U et V, par l'une des formules

CnAP. XVIIf. — FONCTIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDRE. SoQ

En effet, ces formules sont vérifiées pour /i = i et pour /i = 2 ; on sait d^ailleurs que toute somme algébrique de fonctions numériques du même ordre, assujetties à une même loi de récurrence, est aussi une fonction numérique du même ordre assujettie à la même loi. En particulier, on a

(4) \n = pVn-2qVn-u

(4') V„ = 2U„^i-pU„.

Enfin, l'élimination de \Jn^^ entre deux des formules précédentes permet d'exprimer j^^ en fonction linéaire de U« et V« par la formule

(5) '^yn=(^xi — pyo) l^n-^yo^n-

178. Les trois genres de fonctions numériques. — On classe les fonctions du second ordre d'après la nature du discriminant

de l'échelle de récurrence, écrite sous la forme

Si l'on suppose d'abord

p = la et 7 = a*, on trouve A = o, et

(i) U„=/ia«-ï, V„=n«.

En particulier, pour

on a

Urt = /i, Vrt= 2,

et la fonction U„ représente la suite naturelle des nombres entiers. Cette remarque est importante, car dans toutes les formules de ce Chapitre les hypothèses particulières qui précèdent fourniront soit des vérifications, soit des formules plus simples.

Ainsi, pour A = o, la fonction générale j^;, se réduit, soit à une progression arithmétique, soit à une progression géométrique;

îiO LITBE 11. -^ LES 50SBBES BATI053KEL§.

d'aîlleur*. OD \oil facilement que t«>ate pro^ressioD. uilkm^tique oa z^ouiélriqu^ . peut être coD^idérêe comme une ^aitenN:arT«nte du MCObd ordre.

£o laissât de côlr le ca? «iD;:uIier de A = •>. on doit consîdrrer lroi« cd^ différent*, auxquels correspondent trois genres de fonctions numérique'».

Premier ^enn-. — l>jrsque A est le carré d'un nombre entier 0. l'échelle se décoropo?e en deui facteurs linéaires et l'on a

en posant

a rr- , // =

Alors Lit cl \ „ s'expriment par les formult^s

fi — 0

en effet, ces formule^ sont e\acte> pour les conditions initiales

/i = o et /? = I ; d'ailleurs, a" et 0" vérifient la loi de récurrence.

puisque Ton a

p ■=. a -^ b, q = ab\

il en est donr de même de leur somme et aussi de leur différence divisée par i = (a — h).

()n aencon* la relation immédiate

qui s*applique aux fonctions des autres genres, ainsi que nous le démontrerons plus loin.

Parmi les fonctions du premier genre, nous considérerons plus spécialement les suites récurrentes données par les hypothèses

pour lesquelles

par conséquent,

Les premières valeurs de ces fonctions, que nous désignerons sous le nom de ^Suites de Fermât, sont renfermées dans le Tableau suivant :

CIIAP. XVIII. — FONCTIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDRE. 3ll

Premier genre : u^*éà'^it — 'x. A = i .

Uh o, I, 3, 7, l'j, 3i, 63, 127, 255, 5ii, io23 ,

Suites de Fermât.

Deuxième genre. — Lorsque A est un entier positif qui n'est pas le carré d'un nombre entier, l'échelle n'est plus décomposable en deux facteurs linéaires, et l'on obtient les fonctions du second genre. Il en est ainsi, par exemple, dans les hypothèses

/> — I. q -.- -- 1, pour lesquelles A -^ 5; on obtient alors les Suites deFiBOJVAcci (*):

Deuxième genre : u^^ 1/ H- i. A = 5.

Suites de Fibonacci.

Nous prendrons encore pour exemple de fonctions du deuxième genre, les suites récurrentes définies par les hypothèses

pour lesquelles A r- 8, et que nous appellerons Suites de Pell :

Deuxième genre : u^*^ 'lu -*r \. A = 8.

( V„ 2, 2, 0, 14, 34, 82, 198, 478, ir54, 2786, 672C.

Suites de Pell.

Troisième genre. — Lorsque A est un entier négatif, on obtient les fonctions du troisième genre. Les plus simples proviennent des hypothèses

(*) Scritti di Leonardo Pisano^ malematico def secofo decimolerzo, t. I, p. a83.

ha LIVRB 11. — LE8 NOMBRES RATIONNELS.

pour lesquelles A = - — 3, cl Ton trouve (n** 13),

ll^r-O, U,n-*l= (-«)", U,n-hi=(-l)«,

NouH considérerons encore les fonctions du troisième genre qui proviennent des hvpolhèses

pour lesquelles A = : 8, et que nous appellerons Suites conjagHve$ (le Pki.i. :

Troisième genre : u*^2u — 3. A — — 8.

11, o, I, i, I, —4, —II, —10, i3, j6, 73, —12,

Vu •*, », «, —10, -i|, i, {6, 86, 34, —190, —49a.

Suites conjuguées de Peli .

Kniin, pour la \éri(ication ou pour la simplification des formules de cotte théorie, nous considérerons encore les fonctions du troisième genre données par les hypothèses

jK>ur lesquelles A - . — j. On a alors

ITIV DéT«loi^p«]iieiitsdel,etdeV«saiTaBtlespiiis8maoesde/>et d# </« Ko calculant par IVchelle de récurrence les valeurs de L«

qui oorres|K>ndeut aux premiers nombres k 1. 3. 1 on

irvHixe

CHAP. XVIll. — FONCTIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDRE. 3l3

On voit ainsi que, pour les trois genres, la fonction U,i est un polynôme homogène de degré {n — i) en ^ et ^r, en y considérant p au premier degré et q au second ; de plus, le premier coefficient est I et les autres coefficients sont alternativement positifs et négatifs; d'ailleurs, le polynôme \J„ ne contient que les puissances de /?, dont l'exposant est de parité contraire à l'indice n de U».

Si Ton construit le Tableau à double entrée des coefficients pris en valeur absolue, en remontant d'une ligne ceux de la seconde colonne, de deux lignes ceux de la troisième colonne, et ainsi de suite, on obtient le triangle arithmétique de Pascal.

On a donc, par induction, la formule suivante, que l'on peut vérifier a posteriori,

Exemple I, — En particulier, pour/? = i et ^ = — i, on retrouve la formule E (n® 13, Ex, II); pour /> = i et ^ = i, on retrouve la formule F.

Exemple IL — Pour ^ = -i et ^ = i (suite naturelle des nombres entiers), on a

/H- I = •i'» — CA i •i'»- » H- GJ ., 2'»-* — . . . .

On peut aussi développer V;, suivant les puissances de p et de 9, d'après la loi de formation. On trouve pour les premières valeurs de n

Vo=2,

Vv = /?v— 4/?«y 4- 2 <7«,

V 7 ^ p'—ip^q-^- 14 p^ q^ — ipq^y

V9- />«— (j/?^^ -f-27/?«<7«" îo/?'7»-i-9p<7*,

x\insi V„ est un polynôme homogène de degré n en /? et ^, en y considérant p au premier degré et q au second, qui ne contient que les puissances de p dont l'exposant est de même parité que

iili LIVRK 11. - LES NOMBRES RATIONNELS.

riiidicc. On peul construire le tableau des coefficients pris en valeur absolue; en remontant d*une ligne les nombres de la seconde colonne) do deux lignes ceux de la troisième colonne, et ainsi de suite, on trouve que le tableau des coefficients forme alors un tableau de sommes, ainsi que cela résulte immédiatement de réclielle de récurrence. On arrive plus rapidement au résultat par la formule (i) du n" 13(J, el Ton trouve ainsi

rar il suffit do calculer le ciieflicient de />" -^//^.

18(K QénÀralisation des formules. — Loi^qu'il s*agit de fonctions numériques du premier ^enre, nous avons vu (n" 178 » que l « ^''t \\ >\*xprimont |vtr les formules

en fonction de deu\ nombivs entiers </ el /*: on a d'ailleui>

Mais, au lieu vies deu\ nombres entiers a et b qui défi Dissent, duus ce cas, le> tondions l et \ . on peut considérer les nombres iC' et î" ", en destinant par r un entier quelconque, positif ou négutîf: on a alors, en dc'>'^iîaiit par des accents les fonctions corresfvu Jantes,

•jtocjts ob:e:i::is

CHAP. XVIII. — FONCTIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDRE. 3l5

mais les fondions U'. cl V'„ vérifient les formules de récurrence

el l'on a

y=V,, 7'=7S A':=AU«.

Par conséquent, pour les fonctions numériques du premier genre, on généralise toutes les formules qui contiennent U„ et Y„j en y remplaçant

U„ par -jj- , V„ par V,»,.,

ppar\rt ÇP^^f'^J'^y A /?ar AU J..

Il semble que cette généralisation ne peut s'appliquer qu'aux fonctions du premier genre; mais nous devons observer que si les formules obtenues ne contiennent ni a, ni fr, ni S, mais seulement les fonctions U et V et les nombres /?, q^ A, on peut étendre aux fonctions du second genre, et du troisième, le procédé de généralisation que nous venons d'indiquer. En effet, lorsque l'on remplace U/i et V„ par des poljnômes homogènes en p et <jr, ou par des polynômes homogènes en /? et A (p étant au premier degré, (jr et A au second degré), les formules donnent des identités, entre des polynômes de degré fini, qui sont vérifiées pour des systèmes de valeurs de p et de y, ou de p et A, en nombre aussi grand qu'on veut. Par conséquent, ces formules sont exactes, quelles que soient les valeurs de /?, q, A. Ainsi, en résumé, toute formule démontrée pour les fonctions numériques du premier genre s'applique aux fonctions numériques des autres genres y lorsque cette formule ne contient ni a, ni 6, ni 8, mais seulement les nombres

181. Formules d'addition des arguments. — En résolvant par rapport à a" et b'^ les deux formules

a» — b''z=z 8Urt, et" -h b"= V«, on trouve immédiatement

3l6 LIVRE II. — LES NOMBRES RATIONNELS.

Cela posé, considérons deux valeurs m et n de l'indice, nous aurons

multiplions membre à membre les deux formules, nous obtenons

Si nous changeons a en 6 et o on — o, nous obtenons une autre formule; puis, par addition et par soustraction,

Ces formules permettent de calculer les valeurs de U et de V qui correspondent à Tindice ou argument (m 4- n), lorsque l'on connaît les valeurs de U et de V pour les arguments m et n ; en changeant n eu — /i, on trouve encore, en tenant compte des formules (2) du n" 177,

j a^«Um-«=U,„V„— U„V,„,

Ces dernières relations permettent de calculer les valeurs de U et de V pour l'argument (m — n). Plus généralement, on peut obtenir des formules pour calculer les valeurs de U et de V qui correspondent à l'argument (n^-i- n2-\- n^-}- . . .), lorsque l'on connaît les valeurs de ces fonctions pour les arguments /i|, n2, nzf • • • , positifs ou négatifs.

La première des formules (2) peut s'écrire

on a donc

t'm-<-w tJm-H/i-l . tJm-n Um-4-«-l Um-4-w— Î...U/I» y tJwH-n-1... tJm-4-1 ^ .

par conséquent, en ne tenant pas compte du facteur 2, on a ce théorème :

Le produit de n termes consécutifs de la série U/i, pour des

GHAP. XVIII. — FONCTIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDRE. SlJ

indices positifs, est divisible par le produit des n premiers termes Uj , Uj, . . . , U,,.

182. Développements de U„ et de V/, suivant les puissances de p et de A. — On a les formules

par conséquenl, en élevant les deux membres à la puissance d^cxposant /2, il vient

2«a" =/)" -h CA/?«-»o -H C*/?«-*o2h- CJ/^^-'S^-i

puis, par soustraction et par addition ,

^'^ } 2'»-»V«= />« ^-G«/?'»-»A-f-G,î/>''-*Aî-^....

On peut encore se proposer de développer U« et V^ suivant les puissances de A et de (jr; mais on obtient les formules correspondantes par le changement du signe de 6 et de ^, et par l'échange de/?^ et A, en considérant les deux cas suivants ;

i" Lorsque n est pair, toute formule contenant les nombres

U/i, V,i se transforme en une autre, à la condition de con-

AU' server V;, et de remplacer UJ par — ^ '

2° Lorsque n est impair, on remplace VJ par AUjJ el U,, par

183. Multiplication des arguments. — Si Ton suppose m = n, les formules d'addition des arguments donnent

( 2V,« = Vî-f-AUî.

D'autre part, en muUipliant membre à membre les formules (i ) du n** 181, on obtient

(2) 4r = VJ-AUî.

3l)< LITIE II. — LE> NOMBIES 1%TI053(ELS.

On dédiiil îles formules < i el « i >

Les formules précédentes permetlenl de calculer rapidement les valeurs de L ,» et de V|» pour des valeurs de l'indice qui correspondent aux termes d'une progression géométrique de raison 2. Ce sont les ftirinules de dupUratinn des arguments.

On trouve encore, pour la tri pUca lion des arguments, les formules

^ ^-i2=Alî- 37^. ^-V«- 7V

Plus généralemeut. si nous appliquons le procédé exposé au n^ 180. pour la irénéralisation des formules, aux développements de L\ et de \\, suivant les puissances de p et de y ( n* 179), nous obtenons

et, en général.

De même, on a encore

Vir= V;- i7rV2__^^îr

et, en général,

•/ir — 'r /'r ^'r • • ■

-.-i,,*Jc*rA.,9A'Vr'*-.

CIIAP. XVIII. — FONCTIONS NIMÉRIQUES DU SECOND ORDRE. 3l9

Les cléveloppemenls de U„ et de V„ suivant les puissances do p et de A donnent, de même

a«-i ^ =r: Ci V? » -- cjAuj vr^ ^ G* A*U J.V?-*-f- . . . ,

',n-i \„,. =. v;f -:- G,î AU» Vr* -+- G* A*UJ.V?-* -+-..-.

184. Fonctions circulaires et fonctions hyperboliques. — La théorie des fonctions numériques du second ordre permet de simplifier considérablement la théorie des fonctions circulaires et des fonctions hyperboliques.

Après avoir défini les fonctions circulaires et démontré les formules d'addition des arcs, on arrive aux formules de Simpson

sin(Ai -{-i)x = 'À cos:rsiii(/i -' i)^ — sin /i-r, cos(/t -f 2)x — X rosa7Cos(Ai -r \)X — COSAir.

Par conséquent, si Ton pose

/ ^ sin 7i.r

\ U,|— — : , V„— :XC0SAIJ-.

(0 ! sinJ

(/> = 9. cos-r, (yrr-f-i, A— — 4sin*j", on voit que U„ et V,, vérifient l'échelle de récurrence

d'ailleurs, U„ prend les valeurs o et i pour n= o ci n r= i, tandis que V« prend les valeurs 2 et/?; par conséquent, à toute formule de la théorie des fonctions numériques du second ordre correspond une formule de la théorie des fonctions circulaires y au moyen des formules de transformation (i) ci-dessus.

Puisque A est négatif, les fonctions circulaires peuvent être considérées comme des fondions du troisième genre.

Ainsi aux formules (a) du n" 181 correspondent les formules d'addition des arcs; aux formules (i)du n® 182 correspondent les formules pour le développement de (sin/? ;r: sin ;r) et de cosn.r suivant les puissances du cosinus et du sinus de l'arc x ; ces formules ont été données par Jean Bernoulli, dans XasActa Lipsiœ (l'j 01). La transformation de la formule (1) du n" 179 conduit au développement de (sin/ix: sinx) suivant les puissances de coso:, formule

ilK LITRE II. — LES NOMBRES RITIOXXBLS.

On <li'<liiil il^rs formiilfs d} et </.».)

Les f'oriiuiles précédciilrs permettent do ealcuicr rapidement lei valeiir» île l)„ el de V„ pour des valeurs de l'indice qui correspdndeiil aux lerines d*une progression géométrique de raison 2. (le Mïiii II'?* forniuirs dr (lujfliration des arguments.

On Irouve enrore, pour la Iriplirtition des arguments, l« ronnulrs

'iw ^f* •> „ ^'3

:- -\t,.nn

1 *'/! * Il

» /I • rt

Plus ^én<'ral(*nient, si nous appliquons le procédé exposé au n" IKO, pour la généralisai ion des formules, aux développement de U^ et de V„, suivant les puissances de p et de </ (n® 179), nous obtenons

lar- Vr\\?.- ri

l-,,.=:l-,|VJ-3</'-\î-7«-],

et, en j;énéral.

|)e même, on a encore

cl, en ;:eueraK

<^nAP. XVIII. — PONCTIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDRE. 3l9

Les développements de U„ et de V„ suivant les puissances de p et de A donnent, de même

•jt"-i V;,;. = v;î 4- G« AU» v?-' ^ Ci A*uî.vr* ■+-••••

Après avoir défini les fonctions circulaires et démontré les formules d'addition des arcs, on arrive aux formules de Simpson

sin(/i -\-i)x = aco8:rsiii(/i -^- 1)^ — si" ^•''ï cos(/i -t- 2)x = •2COsa?co5(/i -h i)x— cosnr.

Par conséquent, si Ton pose

^^ < sina?

(/> = 2cosar, 7 =-4-1, A-— 4sin*x,

on voit que U« et V,, vérifient l'échelle de récurrence

d'ailleurs, U„ prend les valeurs o et i pour /i = o et /i = i, tandis ^"e V« prend les valeurs i et/?; par conséquent, à toute formule de la théorie des fondions numériques du second ordre correspond une formule de la ihdorie des fonctions circulaires, au moyen des formules de transformation (i) ci-dessus.

Puisque A est négatif, len fonctionn circulaire» peuvent être considérées comme des fonctionn du lroi»i/îme genre.

Ainsi aux formules (y,) du n" 181 corrcupondent les formules d'addition des arcs; aux formuler (0''" »** 182 correspondent les formules pour le développemftril dit («iii/f^; »in;r) et de cos/ix suivant les puissances du cohinuH «t du niriUA d« Vuktc X\ ces formules ont été données f>ar Jkan Wv.wnmiuu^ dfifl« \t*M A C ta Lipsiœ {i^oi). La transformation i\v, hi fonnulit (\) du u'* 170 conduit au développement de (sin rtjn : Hin.r) %msm\ U*% pMlMIlIlcei do COIX, formule

iKt LIVRE 11. — LES NOMBRES RATIONNELS.

rlorin/'#? par Viètk (Opéra, p. 296-299. — Leyde 1646). La transformai ion de la formule ('à) du n® 179 conduit au développemeol drrofi/ix.Huivaiil les puissances de cosj:, formule donDée par MoiVRE ( Com mm tarii A cad. Pc trop ., t. XIII, p. 29; i740-

\)v rn/^riH>, après avoir défini les fonctions hyperboliques, on iirrivr à den formules analogues à celles de Simpson. Par conséquent, ^i Ton pi»Hr

|>»inhvn/ix ., ,

l'rt -- — r-' ' - > > « = a coshyp/w*. Mnhxpj-

/* .-. •! (M)shyp j-, q —-\-\^ A = -H 4 sin hyp*j",

il ni n^itulle, comme ci-dessus, la proposition suivante : A toute fnrmulv (tr la thvorie des fonctions numériques du second ordre rorrrspond une formule de la théorie des fonctions hyperboliques, au moyen des formules {^) de transformation. Puisque A r!«t ponilif, l(*s fonctions hyperboliques peuvent être considérées coniiiii' drs fonctions numériques du second genre. 4

On \oil uiii<«î quo toul05 les formules de la TrigODométric du cercle et do rii\porbolo êquilalère peuvent sVtablir sans avoir recours aux imagiiiHire*« 01 i\ la ft»riiiulede Moivre. Cependant, si Ton veut établir la correspondtniro entre les fonctions trigonométriques et les fonctions numériques dn second ordre, il est facile de montrer que Ton a, en partant de la formule d'l\il.KR

cosr -r- 1 sin.r = r".

Ie> roUliou^

^ 1 . = ■> 7' ^**^^> I w« Log y I »

I —Al j, -- >!/'' sni I ni Los: y i •

IHTi. Déreloppements des puissances de l , et de >'« . en somme algébrique de fonctions dont les arguments sont des multiples de /i. — r.n i;r\nip4inl les termes èquiJistants de> oxtK^mes, la formule du bînOMUO peut >\vrirc

jmr oon>oquont. si l on suppoM^ i ^ ii* et i = ^*•on a. en 5uppo> >^uU ^ :-r >:. le dexelopi'^î^^*''^^

CIIAP. XVIII. — FONCTIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDRE. Sll

et en supposant r == ap -|- i ,

(I') V5 = V;.„-f- g; ^«Vjr-im -+- C« 5ri/»\V-4)i.-»-. . .-^ CP^rp» v„. Ainsi, pour les premières valeurs de r, on forme le tableau

VJ =V5«-f-5^'»V3n+ io<7«»V„,

VJ = V7„ -f- 77''V;„ -h 21 q^ny^n "H SS^r»/. V;,,

De môme, le développement de (a — JiJ)'' donne, en supposant

rt en supposant r = 20-1-1?

(2') APUJ = U;.«-C;7«U,r-î)«-HG»7î''U(r-v)ii-... H(— i)?GP7?«U„. Ainsi, pour les premières valeurs paires de /•, on a

AU^S - V,.„ - r,y« V.„ 4- i57»« V,„ - 207»",

A^U,*; -^ V»„ - Sy« Yen -t- '.Sy^^Vv!, — >r)75« V,„ -f- 70 yv^^

rl'jxuir les premières valeurs impaires de /*, A LJ=--l'3/,-37"U„,

A^UJ r- U;„ - 5q" Vin -i- lov^^U^,

Aai,v ^ Ut„ -77'» 1:5,1 H ' 1 7^" i nn — '07" i:«,

Le développement de la puissance d'un binôme donne encore d'autres formules; ainsi Ton a

a = a-T-3 — 3, et [i^a-h3— a; K. L. — I. 21

donc en élevant les deux membres à une puissance d^exposant impair r, il vient

par suite, par addition et par soustraction, après avoir remplacé a par a" et p par 0", en tenant compte des formules (i) du n** 180,

o = c « L'„ v;-« - c; u,nVs-' - ■ . . -r- C« LVl nV„.

On obtient deuxaulres formules en supposant r pair. De plus, le développement des puissances de

a^a — Jî-r-3. et 3 = 3 — a — a donne encore deux autres formules.

186. Sommation des fonctions U et V. — Nous avons trouvé, pour l'addition des arguments (n** 181), les formules

et pour la soustraction, les formules

or/ny, — î: V ï' V

Si l'on pose

dans les formules précédentes, on trouve ensuite, en les ajoutant ou en les soustrayant,

U2;.-(7'-^U2, = Ur-,\W,;

Vj, — q''-'\ts = AU,+5Ur-f.