I-l i.i.-'.t.-lxltir :;iar? il Till'r Itr

T.'Lj.'Ij»: î:--: IliL*? l r'.t ".~I.l--aii=^ LIT '1 LH L,.^B::1.

I.:'".:: Ii-V'.'HJi.-* .'.(1. :« ■!.' -i è- ri: ■■•.:• 5uJ-. >. i~li'" :■ : rCCfa'I.f

i.i:tr'tt L~ai»îa: ■:.*.' )i F l^oii: ii n-. ^.-'i i lar tii-'-Ji «rr .i«i*i.rf r<«xr

r*;-:*; 7»j'. ... " -.17 i-- 7..t>;'-. ■ :■' - . 7 i.'v "r." *."■: 7-V7»Jer.~Y> jcV i = : .: 7 = -. 71- .7- .- ^.c -V :.i- H F l.k.^D«: r i.-'i. *♦:•. . Jutiru:

:i l'-HL-iC". :■'' — : 1::? i*z-i\ :ii*'L»;--^ Tn-r^-'iT*- in :*: i»'»ii.:r^ ;rt: 3<*îif .1 J'--* . Li *" 11".*: l.:'i' ^i- •: i ". : i . r i-:".s>Ji'. i*- ;i:-:MTi:3«.>cr fî?î .;

1*11". ji .a !•; r'i'i^isc 1 .«;^ i^':\'*r^r la i»:n~'in

CHAP. XVIIl. — FONCTIONS NUMÉRIQUES DU SECOND ORDRE. 3^7

Ainsi la formule d*AuRiFEUiLLE avait échappé à rattcntion d'EuLER, de Lagrange, de Legendre, de Sophie Germain et de Landry, qui se sont occupés longuement et à diverses reprises de la décomposition en facteurs premiers des termes de la suite de Fermât. (Voir n** 31, Exemple /.)

Soit la formule

2V,,=.VJ-f-AUÎ;

lorsque A est t^gal, en signe contraire, au carré d'un nombre entier, l'expression 2 Va/, est une différence de deux carrés. Par suite : Lorsque A est égal au carré d^un nombre entier, pris avec le signe — , la fonction Va,, est décomposable en un pro~ duit de deux /acteurs entiers.

Considérons encore la formule

si l'on désigne ±: i par £ et si l'on suppose

A=r5ieA*, <7 = — î^*, n = 2fjn-i, il vient

On trouve un résultat analogue en supposant

A = eA', q =^ — £^*, /i = 2{Ji-+-i;

par conséquent, on a la proposition suivante : Lorsque le produit y A est égal et de signe contraire au double du carré d^un nombre entier, la fonction ^ h\^2 est décomposable en un produit de deux facteurs entiers.

Ainsi, par exemple, dans la suite de Pell,

Enfin, si nous supposons

A = — o.h^ et n = 2{i,

la même formule nous donne

par conséquent : lorsque A est égal et de signe contraire au

)24 LITIC II. — LES ?rOMBlEf BATIO^TITCLS.

double du carré d'un nombre entier, la fonction ^ \^ est décomposable en un produit de deux facteurs entiers.

Exemple I. — Dooner les foimnlc* de dé«oinpo5Îtioa de Via daos les bvpothéses soÎTantes :

... /> = i rî — 2 rf —

q — — t r* — ar* — ** »

. . . /> — a* r- — îjï .

ç = *rî — a*' .2:

... /) = rS-2jV

p = ir.

Voir, poor plus de re ose i sue m eut s. ootre Mémoire Sur la théorie des fonctions numériques simplement périodiques, dans la \ouv, Corresp, math., t. IV, p. loo.

En partant des formules pour la iripiicalion des arguments (n* 183 K on arrive encore à la décomposition des fonctions numériques dans les cas suivants :

Le nombre —■ est décomposable en un produit de deux fac-

leurs entiers, pour n pair, lorsque A est égal, en signe contraire, au triple du carré d*un nombre entier. Pour n impair, lorsque ^A est égal, en signe contraire, au triple du carré d*un nombre entier.

Le nombre -^.- est décomposable en un produit de deux fac-

leurs entiers, pour n pair, lorsque A est égal et de signe contraire au carré d'un nombre entier. Pour n impair, lorsque q est le triple d'un carré entier, ou encore lorsque q^ est égal el de signe contraire au triple du carré d'un nombre entier.