INTRODUCTION. XXIX

et du double ou du triple d'un autre carré, que Fermât parvint à l'énoncé de nombreux théorèmes sur les nombres premiers qui peuvent être représentés par les formes

x^-hy^, a:«H-27«, a^s-hSj», ...;

tels sont les premiers jalons posés dans le champ immense de la théorie des résidus et des formes quadratiques.

En généralisant l'équation donnée par le carré de l'hypoténuse, Fermât énonce et démontre ce théorème que la somme ou la différence de deux bicarrés n'est jamais un carré, ou, en d'autres termes, qu'on ne peut trouver des nombres entiers ou fractionnaires qui vérifient l'équation

puis il écrit sur une page de son exemplaire de Diophante l'énoncé d'un théorème, dont il assure avoir la démonstration, mais l'exiguïté de la marge ne saurait la contenir.

Cette proposition connue habituellement, sous le nom de^dernier théorème de Fermât, s'énonce ainsi : // est impossible de résoudre, en nombres entiers ou fractionnaires, r équation indéterminée

dans laquelle p désigne un nombre entier plus grand que •>.. Pour/? = 3, le théorème, énoncé avant Fermât par les algébristes marocains, a été démontré par Euler. Puis Legekdre le démontra pour/? = 10, Lamé pour /? = -j, Lejeune-Dirichlkt dans le cas de p=: o'j enfin M. Kummer, pour tous les exposants pairs et pour un grand nombre d'exposants premiers, mais beaucoup échappent encore à son analyse. Parmi les plus grands mathématiciens qui, depuis plus de deux siècles, ont aussi recherché vainement la solution de ce problème, qui semble jeté comme un perpétuel défi à l'intelligence humaine, nous signalerons encore les essais intéressants de Sophie Germain, d'ÂBEL, de Liouville et de Lebesgue. Et Gauss lui-même s'en est occupé très longtemps, bien qu'il n'y