XXX INTRODUCTION

fasse aucune allusion dans ses Disquisitiones, et qu'il ail écrit que l'Analyse indéterminée était distincte de la Théorie des nombres. Nous en donnerons une preuve irréfutable; c'est la VIP section de son ou\Tage, la plus belle, la dernière, dans laquelle il transforme de tant de manières le quotient de {xP — yP) par [x — y)\ c'est par là qu'il rencontre au détour sa célèbre proposition sur la division de la circonférence en parties égales.

Bachet, dans son Commentaire sur l'Arithmétique de Diophamte, pose encore ce problème de trouver deux nombres entiers ou fractionnaires dont la somme ou la différence des cubes soit égale à la somme ou à la différence des cubes de deux nombres donnés, ce qui revient à la résolution de l'équation indéterminée du troisième degré

(i) J•5dbJ^3^A3^

en nombres entiers. Alors il y a lieu de rechercher dans quels cas cette équation est possible ou impossible, pour les valeurs données de A et, dans le cas de possibilité, de trouver toutes les solutions de l'équation. Euler et Legendre ont démontré que l'équation est impossible lorsque A est égal à i, 2, 3, \^ 5, 18 et 36; mais Le- GENDRE s'est trompé pour le cas de A ^= 6, car nous avons démontré le théorème suivant, dans V American Journal (t. II) et dans le Bulletin de la Société mathématique {i. VIII) : Pour que l'équation (1) soit vérifiée par des valeurs entières de A, x^y^ Zj il faut et il suffit que A soit de la forme XjjL(X-i-[ji)v^. Pour À = I , [JL = 2, V = I , on trouve A = 6 el en particulier la solution x= l'j^ y= 37, :;== 21, qui avait échappé à l'attention de Legendre. Nous devons encore citer ici les beaux théorèmes de M. Sylvester et du R. P. Pépin : Si /?, pt et </, </< désignent des nombres premiers des formes respectives (i8n + 3) et (i8/i-hii), il est impossible de résoudre Inéquation (i) lorsque A prend les valeurs

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