CHAPITRE XIX. — CODIVISEURS ET COMULTIPLES

(/i — /') à (/i — /•); et il suffit d'appliquer la formule (3). On a donc la formule

et en remplaçant /• par (n — /*),

P-= D(CS).m(Cr')-

-Nous a>ons emprunté les énoncés et les démonstrations des Exercices III ci Ï^IIy à un article de M. Barrieu (Mathesis, t. III, p. '217).

195. Codiviseurs des formes linéaires. — Nous démontrerons encore le ihéorème suivant sur les formes linéaires et homogènes. Considérons n formes indépendantes, et supposons, pour plus de simplicité, n =3. Soient

l X rr=a,

Désignons par A le déterminant des coefficients, et par de grandes lettres tous les mineurs. On a

( A.r-- AiX-AjY A3Z, {->.) ' Ak-Bi\-4- B2Y-+-B3Z,

I A^=xCiX :-GîY-4-C3Z.

D'après les relations (Tî, tout codiviseur de x^ y, w, est aussi un codiviseur de X, Y, Z; réciproquement, par les relations (2), tout codiviseur de X, ^ , Z divise or, y^ z, ou divise A. De là, pour A = I, ce théorème :

Si n nombres sont premiers entre eux, il en est de même de n formes linéaires et homogènes de ces nombres, pourvu que le déterminant des coefficients soit égal à ±\,

Le système des codiviseurs de n nombres x, y^ z, ... ne change quand on remplace ceux-ci par n fondions linéaires et homogènes X, Y, Z, . . . , de j:, j^, ;;, . . . , dont le déterminant des coefficients est égal à zb i .

Exemple I. — Si a et 6 ont 8 pour plus grand codiviseur, les nombres a -T- 6 et « — b ont pour plus grand codiviseur 0 ou 2$.

Exemple II. — Considérons la suite

I, A, 8, îo, 4*8, 43 »8, .... dans laquelle

Un — K'in-- i)m«, — (/i — i)«/rt-j;

le plus grand codiviseur de Un et Un-\ **st iV, en désignant par q rentier de (a/i H- i) par 8 (n** 128, Ex. II), (Svlvester).

196. Codiviseurs et comultiples des nombres fractionnaires* — On dit qu'une fraction est divisible par une autre, ou multiple d'une autre, quand elle est égale au produit de cette autre fraction par un nombre entier. Avec cette définition, les notions de codiviseurs et de comultiples s'appliquent aux nombres fractionnaires, et l'on appelle plus grand codiviseur de plusieurs fraclions la plus grande fraction irréductible qui divise chacune des fractions données, el plus petit comultiple la plus petite fraction irréductible, qui est divisible par chacune des fractions données. Cela posé, on a le lemme suivant : Pour qu'une fraction irréductible

7 soit divisible par une fraction irréductible -» il faut et il suffit b ' q

que /? divise a et quc^jr soit un multiple de 6. Au moyen de ce lemme, le lecteur démontrera aisément les théorèmes suivants (*) :

I. Le plus grand codiviseur de fractions irréductibles est une fraction irréductible qui a pour numérateur le plus grand codiviseur des numérateurs et pour dénominateur le plus petit comultiple des dénominateurs

myb^ybt,bz, . . .)

II. Le plus petit comultiple de fractions irréductibles est une fraction irréductible qui a pour numérateur le plus petit comultiple des numérateurs et pour dénominateur le plus grand codiviseur des dénominateurs

. /n(rti,r7j,a3, . . .)

\bi ' b^^ bz^ ' / ~~

111. Tout codiviseur de fractions irréductibles est un diviseur de leur plus grand codiviseur.

(») KoiV, pour plus de détails, un article de M. P. Barrieu, dans le Journal de Mathématiques élémentaires (i884).

CUAPITRE \1\. — CODIVISEURS ET COMULTIPLES. 349

IV. Tout comulliple de fractions irréductibles est un multiple de leur plus petit comultiple.

\. Le produit du plus grand codiviseur de plusieurs fractions par le plus petit comulliple de leurs inverses est égal à i .

V6, bt bi 1 \a| aj «5 /

VI. Si Ton multiplie ou si Ton divise plusieurs fractions par un même nombre, entier ou fractipnnaire, leur plus grand codiviseur (ou leur plus petit comulliple), est multiplié (ou divisé) par ce nombre.

11 résulte de ces théorèmes et de quelques aulres analogues que, si Ton désigne par a^ b, c, . . , des nombres positifs, quelconques, entiers ou fraclionnaires, par P leur produit, par d elM, un codiviseur et un comultiple, par D et m le plus grand codiviseur et le plus pelit comultiple, on a toujours les identités suivantes :

( D(ak,bAfCk, , . . ) = A-D(r/ , 6 , c , . . . ) , ( ni(akjbk^ cA , . . .) =krn(a, b,c, . . .).

l D ( a , fc) , c , . . . ) . m l —, y >—,••• j = M ,

D(ai'ybi\ci'. ...) = [D(a,b,c. . . .)J/', m{at'^bf'^c/\ . . . ) — [m(a, b^r. . . .)]'*,

Enfin, si Ton désigne par m{0„) et par D(Ci,) le plus petit comultiple et le plus grand codiviseur des produits obtenus en combinant n fractions i à /, on a

( m(Ci).D(CrO=I*.

35o LITRE III. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.