INTRODUCTION. XXXI

Lorsque Ton remplace, dans l'équation (i), l'exposant 3 par Texposant 5, il existe encore de nombreux cas d'impossibilité, pour des formes générales du nombre A qui ont été indiquées par DiuicHLET et parLEBESGUE. Mais, d'autre part, si l'on revient à cette équation, dans les cas où elle est résoluble, il y a lieu de rechercher toutes les solutions. Fermât, Lagrange et Cauchy ont donné le moyen de déduire d'une première solution une suite indéfinie d'autres solutions par deux procédés qu'il est plus facile d'expliquer par des considérations de Géométrie analytique. Soient (•^1 y-i -î) les coordonnées homogènes d'un point P d'une cubique ayant pour équation cartésienney(j:, j^, z) = o. Si les coordonnées du point P sont rationnelles, elles fournissent une première solution en nombres entiers de l'équation indéterminée du troisième degré. Si l'on mène la tangente en P, celle-ci rencontre la cubique en un point unique P' dont les coordonnées, encore rationnelles, représentent une autre solution de l'équation, et ainsi de suite; c'est là le procédé de Fermât. Mais la droite PP rencontre la cubique en un point unique P' dont les coordonnées sont encore rationnelles; on déduit ainsi de deux solutions une troisième, et ainsi de suite; cela revient au procédé de Lagrange et de Cauchy ; alors il s'agit de classer les solutions obtenues par l'application successive des deux procédés. Cette classification s'obtient par une admirable théorie imaginée par M. Sylvester, et qui s'appelle y?esiduation. Mais il reste à savoir si l'on obtient ainsi toutes les valeurs entières des inconnues; malgré tant d'efforts, la question n'est pas encore résolue, même dans les cas les plus simples. Nous réserverons pour les volumes qui suivront l'indication de méthodes qui peuvent servira obtenir de nouveaux résultats dans l'Analyse indéterminée cubique et biquadratique, et dans celle des degrés supérieurs.

C'est en généralisant d'une autre manière le théorème de Ba- CHET que Fermât énonce ce théorème : Tout entier est une somme de trois triangulaires, de quatre carrés, de cinq pentagoneSj de six hexagones au plus, et ainsi de suite. La démonstration de ce théorème, cherchée vainement pendant deux siècles,