CHAPITRE XX. - LES NOMBRES PREMIERS. 35l
limite donnée, on emploie le procédé connu sous le nom de Crible rf'ÉRATOSTHÈNE (276-194 avant J.-C). On écrit la suite naturelle des impairs depuis i jusqu'à ceKe limite; puis on efface ceux que Ton rencontre de 3 en 3, à partir du carré de 3; on efface ensuite ceux que l'on rencontre de 5 en 5, à partir du carré de 5, en tenant compte delà place occupée parles nombres effacés; puis ceux que Ton rencontre de 7 en 7, à partir du carré de 7, et ainsi de suite en recommençant chaque fois par le carré du nombre que l'on trouve parmi les nombres restants à la suite du nombre premier dont on vient d'effacer les multiples. L'opération s'arrête d'elle-même, lorsque l'on vient d'effacer les multiples du plus j;rand nombre premier dont le carré est plus petit que la limite proposée.
Exemple /. Former, par le crible, la Table des nombres premiers jusqu'à 100.
On trouve les vin<;t-cinq nombres premiers
u, 5, 5, 7, II, i3, 17, 19, a3, 0.9, 3i, 3^, 41, Î3, i7, J3, 59, 61, G7, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Exemple II. — Tout nombre premier plus jrrantl que 2 est de l'une des formes linéaires 4^" ~ i.
Tout nombre premier plus grand que 3 est de l'une des formes linéaires Ç}X±i\,
Tout nombre premier impair est de l'une des formes 8 jrh i, riz 3.
Tout nombre premier plus grand que 3 est de l'une des formes iix — \,
Le carré d'un nombre premier plus grand que 3 est un multiple de 2^ augmenté de l'unité.
Exemple IIL — Tout nombre 4^^ -+-3 est premier ou divisible par un nombre impair de nombres premiers de la même forme.
Tout nombre 6/1-4-5 est premier ou divisible par un nombre impair de nombres premiers de la même forme. — Il n'en est plus de même, pour les nombres des formes 8/i-|-3, -f-5 ou -f-7.
Exemple IV. — Le produit des n premiers nombres premiers n'est jamais la somme ou la diflcrence de deux puissances de même exposant.
En effet, si p désigne un nombre premier impair, le binùme aP — bP n*est pas divisible par p ou est divisible par />* (Exemple IVy n® 192). D'autre part, sip est pair et égal à 2^2^, la somme a'^z-f- b^^ n'est pas divisible par 3 et la différence a*'/ — 6**7 n'est pas divisible par 2 ou est divisible par S. G. Q. F. D.
En particulier, Tcxpression
2.3. 3.7. Il . 1-3. 17. . ."■- 1 n'est jamais une puissance exacte.
198. Suite des nombres premiers. — La suite des nombres premiers est illimitée. Ce théorème important, dû à Euclide, se démontre comme il suit. Soity> un nombre premier quelconque, il y a nécessairement un nombre premier plus grand que/?, quel que soit/>. En eflfet, supposons qu\)n ait formé la suite de tous les nombres premiers jusqu'à />,
ajoutons Tunité au produit de tous ces nombres. Le nombre obtenu 7jp est plus grand que p cl représente un nombre premier ou composé. Si Z^ est premier, le théorème est démontré ; d'autre part, si Zy, n'est pas premier, il est divisible au moins par un nombre premier. Mais Z^ n'est divisible par aucun des nombres premiers 2, 3, 5, . .., />, puisque le reste de sa division par l'un de ces nombres est 1. Donc Z^, esi divisible par un nombre premier plus grand que/>.
On reconnaît que Z^ est premier pour/? = 3, 5, 7, 11, tandis que pour p= i3, 17, 19, a3 les nombres Z^ sont composés.
On a
I T- 2.3.5.7 = '211, I ;- 9.3.5.7. II = 23 11, I r-2.35.7.11.13 = 59.509,
i-f- '2.3.5.7. II. 13.17 = I y. 97. 277, I -h 2. 3. 3.7. II. 1 3. 17. 19 = 317.27953,
