I -T- 2.3.5.7. II

Mais, dans l'état actuel de la Science, il serait très difficile de continuer cette étude et de savoir dans quels cas le nombre Z^ est premier ou composé, ou même de savoir s'il y a une série illimitée de valeurs de p donnant des nombres premiers. Cette question

parail aussi inaccessible que les trois suivantes vérifiées jusqu*à certaines limites sur les Tables des nombres premiers :

I. Existe-t-il une infinité de groupes de deux nombres premiers dont la différence soit égale à 2 ?

II. Tout nombre pair est-il la somme de deux nombres premiers? Si cette dernière proposition posée parWARiNG('), dans ses Meditationes analyticœ, était démontrée dans le sens de l'affîrmative, on en déduirait immédiatement que tout nombre impair est, de diverses manières, égal à la somme de trois nombres premiers.

III. Tout nombre pair est-il la difTérence de deux nombres premiers? (\. DE POLIGNAC.)

Exemple I. — Il y a une infînitc de nombres premiers appartenant à la forme linéaire (6a: — i).

On remplace, dans la démonstration précédente, Z^ j)ar

c'est un nombre de la forme {^x — i j qui est premier, ou divisible par un nombre premier de même forme.

Exemple II. - Il y a une infinité de nombres premiers appartenant à la forme linéaire (4 a* — 1 ).

On remplace 'Lp par

c'est un nombre de la forme (4^* — i)qui est premier, ou divisible par un nombre premier de même forme.

Exemple III. — En admettant le théorème, démontré plus loin, que tout diviseur premier impair d^une somme de deux carrés premiers entre eu\ est une somme de deux carrés, démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme linéaire (4^-i- i).

On considère l'expression

2^3^5^7^ll^../>2^,^

et Ton continue comme ci-dessus.

Exemple IV. — Il y a une infinité de nombres premiers de la forme linéaire (Sx -i- 5).

(') Dans une Lettre à Goldbach (3o juin 1743), publiée dans la Correspondance mathématique et physique, Euler écrit qu'il considère ce théorème romme tout à fait certain, quoiqu'il ne sache pas le démontrer.

354 LIVRK III. -- L\ DIVISIDILITK \ n IT llMÉTlgt' E.

En admettant le théorème tle VExemple IIl^ on considère Texprcssioii

Z étant une somme de deux carrés premiers entre eux ; tous ses diviseurs sont de la forme (4J^-i- i), c'est-à-dire de l'une des formes(8j?-+-i),(8ir-ï-5); et, puisque Z est de la forme (8j:-h 5), ce nombre est premier ou divisible par un nombre premier de la même forme et plus grand que p.

Remarque. — Les théorèmes précédents sont des cas très particuliers de ce théorème remarquable énoncé par Legexdre et démontré, pour la première fois, par Lejelnë-Dihiciilet : Toute progression arithmétique dans laquelle deux termes consécutifs sont premiers entre eux renferme une infinité de termes qui sont des nombres premiers. En d'autres termes, si a et ^ sont premiers entre cu\, la forme linéaire {ax-^-b) contient une inûnité de termes qui sont des nombres premiers.

199. Distribution des nombres premiers. — 11 n'es:iste actuelieinent aucune méthode pour trouver uue solution satisfaisante des questions suivantes :

[. Trouver un nombre premier plus grand qu'un nombre premier donné.

11. Trouver une fonclion qui ne donne que des nombres premiers.

\\\. Trouver le nombre premier qui suit un nombre premier donné.

IV. Trouver le nombre des nombres premiers qui ne surpassent pas un nombre donn<;.

V. Calculer directement le nombre premier de rang donn<». Ces (pieslions que nous avons rangées suivant Tordre probable

de diflicullé croissante paraissent encore inaccessibles, malgré les» efl'orts des malhématiciens les plus illustres.

Feumat avait j>ensé, mais en annonçant ((u'il n'en avait pas de démonstration, que les nombres de la forme

étaient toujours premiers. Nous démontrerons plus loin que F„ est premier pour les valeurs de /i =: o, i, 2, 3, \ et composé, pour ri z= 5, G, ri, a3, 36 (voir n° 34).

Nous ajouterons que, pour modifier la conjecture de Fermât, on

a énoncé cette proposition : Tous les nombres qui appartiennent à la suite

sont premiers. D'aulre part, Eisenstein a énoncé ce théorème dont il possédait probablement la démonstration: lly a une infînité

de nombres premiers de la forme 2^ -+-i; mais nous ne connaissons aucune démonstration de ces deux propositions difficiles.

Consulter : Annales de Gergonne^ l. XIX, p. 236. — Journal de Crelle, t. XVII, p. 87. — Journal de Sylvester, t. II, p. 238. — Bulletins de V Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg (nov. 1877 et janvier 1878).

Parmi plusieurs autres, Euler a donné les trois formules suivantes (Mém. de Berlin pour 1772, p. 36)

j--ha:-+- 17, 2j:*-f- 29,

(jui fournissent respectivement, pour les valeurs entières successives de X, à partir de zéro, 17, 29 et 4' nombres premiers, ainsi qu'on le vérifie facilement en calculant par différences, comme pour la Table des carrés (n® 2i).

Mais ces formules, et d'autres analogues, ne peuvent représenter exclusivement des nombres premiers, car on a la proposition suivante :

Le polynôme à coefficients entiers

f{x) = rt -f- bx -\- cx^-^ dx^ H- . . .

ne peut donner continuellement des nombres premiers, pour toutes les valeurs entières de x.

En effet, soit/> =f(^XQ) un nombre premier correspondant à la valeur Xo de x; on a, quelle que soit la valeur du nombre entier > (n** 32),

/{^o-^py) -=A^'o) (mod.p):

donc /(xq -T- py) esi divisible par/>, quelque grand que soitj'. Par suite, /{x) ne peut représenter exclusivement des nombres premiers.