LIVnK III. — LA I>l VISIBILITK A R I T IIX KT li^ UE

t200. Décomposition d'an entier en différence de deux carrés. — Un nombre premier impair esl, d'une seule manière, la différence <le deux carres. En effet, considérons Téquation

dans laquelle/? désigne un nombre premier; dans ce cas, x et j^ sont premiers entre eux ; il en est de même de leur somme et de leur «lilFérence. On doit donc poser

Jr—y^\, x-^y=:p', d'où ridenlilé

Mais si nous remplaçons /> par le produit de deux nombres impairs/?! et/>2 plus grands que i, nous pourrons poser encore

X rrr 1 } ^^ •

Ainsi, pour qu' un nombre impair soit premier, il faut et il suffit qu'il soit, et (Vune seule manière, égal à la différence des carrés de deux nombres entiers. De là celte méthode indiquée par Fermât pour reconnaître si un nombre impair donné n est premier ou composé. On ajoute au nombre n tous les carrés jus- (ju'à celui de \ [n — i); si Ton ne trouve qu'un seul total, le dernier, égal à un carré, le nombre essayé est premier. Dans le cas contraire, le nombre est composé, et on le décompose immédiatement en un produit de deux facteurs. On simplifie considérablement le calcul en tenant compte des derniers chiffres des carrés et en se servant d'une Table de carrés (n°* 24 et 26).

On a encore le théorème suivant, qui n'est qu'un cas particulier dans la théorie des formes quadratiques : Si S. et ^ désignent deux (entiers positifs, un nombre premier p ne peut être donné par les deux décompositions distinctes

p = Aa^-T- B6*, p = Aaî^- B^î.

En effet, on en déduirait

par suite, l'un des nombres (a^dri^a) serait un multiple de/>; mais on a l'identité

/>»=r(ArtaihB6p)2-^ A.B(apip6a)«.

Pour AJB >> I, on doit remarquer que le carré qui multiplie AB est nul, car s'il en était autrement le second membre serait plus grand que le premier; on doit donc poser

d'où a =: dz a, et b = zh ^,

Pour AB = i, on peut supposer apqz6a = zt/?, mais alors l'autre carré de la valeur de p^ serait nul et l'on aurait a =:± ^ et 6=dza.

En partant de cette proposition et d'autres du même genre, on obtient d'autres méthodes pour la décomposition des nombres en facteurs premiers, que nous exposerons plus loin. Nous ne retiendrons ici que cette application indiquée par Sophie Germain : Aucun nombre de la forme (p* -{- 4)? excepté 5, n^est un nombre premier. En eflcl,

par conséquent ces nombres sonl, de plusieurs manières, la somme de deux carrés. Plus généralement, on a

et, par suite, la décomposition

201 . Des nombres composés. — Nous avons vu (n° 197) que tout

nombre non premier admet au moins un diviseur premier aulre

que l'unité. Gela posé, nous allons démontrer que tout nombre qui

n'est pas premier est dêcomposable en un produit dhin nombre

fini de facteurs premiers. — En effet, si n n'est pas premier, on

peut poser

n = pn ,

p désignant un nombre premier et n^ un nombre premier ou com-

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posé. Si n* esl premier, le ihéorime est démonlré; mais, si tJ n'est pas premier, nous pourrons écrire

p' désignant un nombre premier et n'' un nombre premier ou composé plus petit que n!. En appliquant le même raisonnement au nombre /i", et en obsenant que la suite des nombres entiers positifs décroissants /i, n\ n", ... est limitée, on finira par trouver

n ^pp'p"'* . j

le second membre se composant d'un produit de facteurs premiers en nombre fîni.

La décomposition d^un nombre en facteurs premiers n^est possible que d^ une seule manière, si l'on ne tient pas compte de tordre des facteurs. En effet, supposons que l'on ait trouvé les deux décompositions

n = pp p' ... et 71= qç' ç' . • • }

dans lesquelles les /> et les q désignent des nombres premiers. On a donc

(I) pp'p' "^çq'ç

Puisque p divise le premier membre, il divise le second ; il existe nécessairement un facteur du second membre égal kp; car, si le nombre premier/? n'était égal à aucun des facteurs premiers du second membre, il serait premier à chacun d'eux et à leur produit (n® 192) ; par suite, il ne pourrait diviser le second membre. On peut donc supposer p= q; puis, diviser les deux membres de l'égalité précédente par/>, et obtenir l'égalité

pp ... -^q q

sur laquelle on recommencera le même raisonnement. Par conséquent, les facteurs du premier membre de Tégalilé (i) sont respectivement égaux à ceux du second, et en nombre égal.

On simplifie la représentation d'un nombre composé n en groupant ensemble les facteurs premiers égaux. Si a, p, y, ... désignent respectivement les nombres des facteurs égaux aux nombres