I III

si l'on donne à p toutes les valeurs 2, 3, 5, 7, 11, ... des nombres premiers et si l'on multiplie les développements, tous les termes du produit sont différents; chacun d'eux est l'inverse d'un nombre de la forme 2*3?5Y..., |)Our des exposants entiers, nuls ou positifs. Mais tout nombre entier n'étant décomposable en facteurs premiers que d'une seule manière, le produit

donne la série harmonique illimitée. Il y a donc une infinité <le nombres premiers.

Cette démonstration est d'EuLKR. Kn se servant du théorème de Goldb ach

(n* 89, Exemple X)^ et du développement de — log (1 — ) » on démontre le théorème énoncé.

202. Suites de nombres composés consécutifs. — On peut trouver une infinité de suites formées en aussi {jjraud nombre n <pron

ynt LIVKE III. — L% DIVISIBILITÉ AftlTHM ÊTIQt E.

\ou(lrd «l'f'ntlers coDsécutif^ et composés. En cfTet. désignons |>ar

n entiers consécutifs tels que le plus petit soit >> i. et cherchons /i nombres consécutifs que nous pouvons désigner par

tels que ces nombres soient respectivement divisibles par a^^ a^. a%. ... y On- Il en résulte que A est divisible par chacun des n nombres donnés et, par suite, par leur plus petit comultiple; donc, cd désignant celui-ci par u. et par / un entier quelconque, on a

A = / !Jl.

Plus généralement, on peut supposer que éZi, a^^ aj, a«

désignent des nombres en progression arithmétique de raison t\ Mais, si Ton veut simplement que les nombres

soient des nombres composés, on peut remplacer a par le produit P des nombres premiers jusqu'à /?, et considérer les nombres

tV-^i, ^P-r-J, M»-^4, ..., tV-^n\

ainsi, par exemple, les neuf nombres consécutifs

sont composés; il en sera de même, si on les augmente d'un multiple quelconque de 210.

Exemple I. - Trouver tous les nombres N qui, divisés respectivement par les nombres 2, 3, 4. . . ., (/i — IK donnent successivement pour restes b;s nombres i , vt. 3. . . . , ^ /i — 2 ).

\jv nombre ( \ -• 1 ; est évidemment divisible par 2, 3, 4, < /* — i); par

conséquent, il est divisible par leur plus petit comultiple ji; on a donc

N - / ;jL — I .

Exemple II. — Trouver tous les nombres Xqui. divisés respectivement par les nombres 2, 3, 4> •••• < /« — i ), /', donnent successivement pour restes les nombres i, 2, 3 ( /< — 2), o.