CHAPITRE XX. — LES NOMBRES PREMIERS. 30l

Délerminons d'abord tous les nombres qui vérifient toutes les conditions, à l'exception de la dernière; on a, avec les notations de l'Exemple précédent,

déterminons t de telle sorte que N vérifie la dernière condition; on doit

donc avoir

t\L — I — nx\

le problème n'est possible que pour n premier ; car, sans cela, /i et ji admettraient un codiviseur qui devrait diviser i. Donc, en supposant n premier, \x et n sont premiers entre eux, et l'on peut déterminer deux entiers / et fx (n*» 191), tels que l'on ait

t\i. — nx — I .

Désignons par Nq la valeur correspondante de N qui représente une première solution du problème; la diflerence (X — N©) doit être divisible par 2,3, 4)- • •« (^ — i;? t^'i par suite, elle est divisible par leur plus petit comultiple ^/{. On a donc la solution générale

X — No~ ji/ij-,

y désignant un entier quelconque.

Soit, par exemple, /i = 7, on aura

203. Divisibilité des factorielles. — Nous commencerons pairésoudre le problème suivant : Déterminer le plus grand exposant de la puissance d'un nombre a qui ne surpasse pas un nombre donné n.

Une première méthode, directe, consiste à calculer le Tableau des puissances successives de 6r, jusqu'à ce que Ton obtienne un exposant a tel que Ton ail

et l'exposant cherché est a; on peut déterminer ainsi, par exemple, le plus grand exposant de la puissance de 2 contenue dans un nombre donné (n" 189, Remarque II).

Mais, au lieu d'employer les multiplications successives par a, on peut aussi emplo;yer les divisions successives par a. Cette méthode repose sur le théorème suivant: Si q désigne le quotient par défaut de la division de n par a, et si q' désigne le quotient par défaut de la division de q par 6, le nombre q' est égal

36 i li%'iie: m. — i.\ m vi^ibilitT: ahitiimétiql'E.

//// f/uoticnt par drfaut de la d'nision de n par le produit ah, Vax eflet. on a jiar défiiiidon.

n — aq -T- /•. q — btj -r- *,

r désignant Tune des valeurs o, 1,2 * a — 1 », el s l'une des

valeurs o, 1, 2 (b — 1 !. On déduit

n ---- abq' — « ai -T- r):

mais \it nombre non négatif (as -~ r) est au plus égal à

a{b — i) -(a — i) ou {ab — 1 :

donc çr^ est le quotient exact, ou approché par défaut, de la division de n par ab.

On désigne habituellement le plus grand nombre entier contenu

dans - par la notation E- » que l'on prononce entier de n par a:

on a donc

E " = E " - , b ab

et cette formule s'applique, en général, à l'entier de -j

Cela posé, nous résoudrons le problème suivant : Déterminer le plus grand exposant de la puissance d'un nombre premier p contenue dans le produit ni des n premiers nombres. Les entiers qui contiennent/; en facteur dans la factorielle ni sont tous les multiples de p

Pi '>'P'i 3/>, . . . , E - /?, en nombre E - ;

[)ar suite, l'exposant de/? dans cette factorielle est égal à l'exposant de/? dans le produit

augmenté du dernier facteur. En répétant le même raisonnement sur cette nouvelle factorielle, et en appliquant le théorème précédent, il en résulte que l'exposant du nombre premier/? dans la

factoriellc n ! est égal à la somme

Lorsque n est une puissance de /?, les quotients de n par

PiP^fP*, ..., sont tous entiers, et l'on trouve pour l'exposant

cherché

Si Ton écrit le nombre n dans le système de numération de base/>, en supposant

n = a -^ bp -{- cp* 4- dp* -h . . . , on trouve facilement que l'exposant cherché a pour valeur

et a pour limite supérieure

Exemple /. — Quel est l'exposant de 7 dans le produit des 10000 premiers nombres?

On dispose le calcul de la manière suivante :

et le nombre chercbé est

Exemple II, — Le produit des 1000 premiers nombres se termine par !i49 zéros.

Exemple III. — Trouver le plus grand exposant de la puissance du nombre premier p contenue dans le nombre combinatoire C%, On a

rn ^ J!ll

364 LIVRK m. — LA DIVISIBILITÉ ARITUMÉTIQU E.

et l'on applique la méthode précédente. On en déduit Texposant de la plus haute puissance de p contenue dans le produit de n nombres consécatifs.

Exemple II'. — Trouver le plus grand exposant de la puissance d'on nombre premier/?, contenue dans le produit de nnombres impairs consécutifs. — Dans le produit de n nombres en progression arithmétique.

Exemple V. — Trouver le plus petit nombre n tel que la factorielle n\ soit divisible par une puissance donnée p'X d'un nombre premier/?. Voir la solution de M. \euberg {Mathesis, t. VU, p. 68).

Exemple Vf. — Montrer que, pour savoir combien de fois le nombre premier /? est facteur dans le produit ni, on peut, après avoir écrit le nombre /i dans le système de numération de base/?, diviser par (/> — V l'excès du nombre n sur la somme de ses chiffres. En conclure que p sera facteur dans le nombre combinatoire C% autant de fois que, dans la soustraction de n ei de q écrits dans le système de base p, il faudra ajouter p aux chiffres de n pour rendre les soustractions possibles.

204. Quotient de factorielles. — Nous allons démontrer que, si

l'on a

le quotient de ni par le produit a! pîy! ...)^! est un nombre entier; ce théorème résulte immédiatement de ce que ce nombre représente des permutations avec répétition (n** 44); mais on peut en donner une démonstration purement arithmétique.

En effet, soit p un nombre premier quelconque du dénominateur de l'expression

a!(i!Y!...ÀÎ

Texposant de la plus haute puissance de p contenue dans le dénominateur est égal à la somme des expressions

E--hE — -r-E-r-f-....

eï^e-^-^eJI p P' p^

et Texposant de la plus haute puissance de p contenue dans le